Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}\leq 1.$

bất đẳng thức ôn tập hè

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 SailorMoon

SailorMoon

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 11-07-2020 - 16:20

Bài 1: Với a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b + ab = 3, chứng minh rằng:

           a/(b+3) + b/(a+3) + ab/(a+b) ≤ 1

 

Bài 2: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + √c2 + ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 3: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √4a2 - 2ab + 7b2 + √4b2 - 2bc + 7c2 + √4c2 - 7ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 4: Với a, b, c là số thực dương có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

           H = a/(b2+1) + b/(c2+1) + c/(a2+1)



#2 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi Hôm qua, 14:59

Bài 1: Với a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b + ab = 3, chứng minh rằng:

           a/(b+3) + b/(a+3) + ab/(a+b) ≤ 1

 

Bài 2: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + √c2 + ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 3: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √4a2 - 2ab + 7b2 + √4b2 - 2bc + 7c2 + √4c2 - 7ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 4: Với a, b, c là số thực dương có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

           H = a/(b2+1) + b/(c2+1) + c/(a2+1)

Bài 1: BĐT tương đương với:

$\frac{a^{2}+b^{2}+3(a+b)}{(a+3)(b+3)}+\frac{3}{a+b}\leq 2$

Đặt $S=a+b; \Rightarrow ab=3-S$. BĐT trở thành:

$\frac{S}{2}+\frac{3}{S}\leq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(S-2)(S-3)}{2S}\leq 0$, đúng vì $3=a+b+ab>a+b=S; 3\leq S+\frac{S^{2}}{4}\Leftrightarrow (S-2)(S+6)\geq 0\Rightarrow S\geq 2$.

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=1$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: Hôm qua, 14:59


#3 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi Hôm qua, 15:03

Bài 1: Với a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b + ab = 3, chứng minh rằng:

           a/(b+3) + b/(a+3) + ab/(a+b) ≤ 1

 

Bài 2: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + √c2 + ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 3: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √4a2 - 2ab + 7b2 + √4b2 - 2bc + 7c2 + √4c2 - 7ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 4: Với a, b, c là số thực dương có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

           H = a/(b2+1) + b/(c2+1) + c/(a2+1)

Bài 2: BĐT tương đương với:

$\sqrt{\frac{b^{2}+bc+c^{2}}{3}}+\sqrt{\frac{c^{2}+ca+a^{2}}{3}}+\sqrt{\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}}\geq a+b+c$

Ta chứng minh: $\sqrt{\frac{b^{2}+bc+c^{2}}{3}}\geq \frac{b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+bc+c^{2}}{3}\geq \frac{(b+c)^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{(b-c)^{2}}{12}\geq 0$.

Viết hai BĐT tương tự rồi cộng với nhau theo vế ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$



#4 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi Hôm qua, 15:09

Bài 1: Với a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b + ab = 3, chứng minh rằng:

           a/(b+3) + b/(a+3) + ab/(a+b) ≤ 1

 

Bài 2: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + √c2 + ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 3: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √4a2 - 2ab + 7b2 + √4b2 - 2bc + 7c2 + √4c2 - 2ca+ 7a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 4: Với a, b, c là số thực dương có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

           H = a/(b2+1) + b/(c2+1) + c/(a2+1)

Bài 3: Ta có: $4a^{2}-2ab+7b^{2}=(a+2b)^{2}+3(a-b)^{2}\geq (a+2b)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{4a^{2}-2ab+7b^{2}}\geq a+2b$

Viết hai BĐT tương tự rồi cộng với nhau theo vế ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$

 

P/S: FTFY (căn cuối cùng khi cho $a=b=c$ sẽ không có nghĩa)



#5 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi Hôm qua, 15:11

Bài 1: Với a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b + ab = 3, chứng minh rằng:

           a/(b+3) + b/(a+3) + ab/(a+b) ≤ 1

 

Bài 2: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + √c2 + ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 3: Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

           √4a2 - 2ab + 7b2 + √4b2 - 2bc + 7c2 + √4c2 - 7ca+ a2 ≥ 3(a + b + c)

 

Bài 4: Với a, b, c là số thực dương có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

           H = a/(b2+1) + b/(c2+1) + c/(a2+1)

Bài 4: Ta có:

$H=(a+b+c)-(\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1})\geq 3-\frac{1}{2}(bc+ca+ab)\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=\frac{3}{2}$

Vậy $minH=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c=1$. $\square$



#6 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi Hôm qua, 15:14

Bài 4: Với a, b, c là số thực dương có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

           H = a/(b2+1) + b/(c2+1) + c/(a2+1)

Mới tính đăng Sol AM-GM ngược dấu nhưng giống bạn PDF rồi nên đăng SOS vậy.

Ta có$:$ $$H-\frac{3}{2}={\frac {1}{486}}\sum {\frac {a \left( 10\,{a}^{3}+62\,{a}^{2}b+24\,{a}^{2 }c+93\,a{b}^{2}+17\,abc+12\,a{c}^{2}+115\,{b}^{2}c+153\,b{c}^{2}+162\, {c}^{3} \right)  \left( a-b \right) ^{2}}{ \left( {b}^{2}+1 \right) \left( {c}^{2}+1 \right)  \left( {a}^{2}+1 \right) }}$$

Thao tác trên Maple: https://drive.google...iew?usp=sharing


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: Hôm nay, 16:51


#7 DarkNehess

DarkNehess

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The darkside of the moon :>
  • Sở thích:Maths, Anime, Football,...

Đã gửi Hôm nay, 16:38

Mới tính đăng Sol AM-GM ngược dấu nhưng giống bạn PDF rồi nên đăng SOS vậy.

Cho em hỏi Sol và SOS là gì vậy ạ. Mong a giải đáp


Nehess doesn't have its meaning, but I'll make it be meaningful <3


#8 caotiendat2006

caotiendat2006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Lội

Đã gửi Hôm nay, 17:23

Cho em hỏi Sol và SOS là gì vậy ạ. Mong a giải đáp

sol là solve là cái lời giải ấy ạ  tức là anh PDF đã giải bằng AM-GM ngược dấu rồi nên anh tthnew đăng cách giải bằng SOS. SOS  (SUM OF SQUARE)là phương pháp cm bđt sử dụng ý tưởng đưa về phân tích thành tổng các đại lượng bình phương .Em đoán là vậy :)) 


Dốt hình ngu số 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh