Cho $a, b, c, d$ là các số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $ab=cd$
Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-01-2023 - 03:53
Tiêu đề
Cho $a, b, c, d$ là các số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $ab=cd$
Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-01-2023 - 03:53
Tiêu đề
$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k>0\right)$
$\Rightarrow a=ck,d=bk$
$a+b+c+d=ck+b+c+bk=c\left(k+1\right)+b\left(k+1\right)=\left(c+b\right)\left(k+1\right)$ $(1)$
Do $a,b,c,d,k>0$ nên từ $(1)$ suy ra $a+b+c+d$ là hợp số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UserNguyenHaiMinh: 18-01-2023 - 20:38
$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\left(k\in ℕ^∗\right)$
Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ
Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ
Cảm ơn b đã nhắc mình đã sửa lại rồi
$k$ chưa chắc là số nguyên mà bạn
Lời giải khác: Giả sử $p=a+b+c+d$ là số nguyên tố.
Ta có: $p\mid d(a+b+c+d) = ad + bd + ab + d^2 = (d+a)(d+b)$
$\Rightarrow p\mid d+a$ hoặc $p\mid d+b$.
Điều này là vô lí vì $0 < d+a<p$ và $0 < p < d+b$.
Vậy $a+b+c+d$ là hợp số.
C
$k$ chưa chắc là số nguyên mà bạn
Lời giải khác: Giả sử $p=a+b+c+d$ là số nguyên tố.
Ta có: $p\mid d(a+b+c+d) = ad + bd + ab + d^2 = (d+a)(d+b)$
$\Rightarrow p\mid d+a$ hoặc $p\mid d+b$.
Điều này là vô lí vì $0 < d+a<p$ và $0 < p < d+b$.
Vậy $a+b+c+d$ là hợp số.
Có cách giải khác không ạ, mình chưa hiểu lắm
Có cách giải nữa gần giống bạn UserNguyenHaiMinh:
Đặt $d_1 = \gcd(a,c), d_2 = \gcd(b,d)$.
Thế thì tồn tại $a',b',c',d'$ mà $a = d_1a', c = d_1c', b = d_2b', d = d_2d'$ và $(a',c') = (b',d') = 1$.
Có $ab=cd\Rightarrow a'b' = c'd'$.
Do đó $c'\mid a'b'$, mà $(a',c') = 1$ nên $c'\mid b'$.
Tương tự do $b'\mid c'd'$ mà $(b',d') = 1$ nên $b'mid c'$.
Dẫn đến $b'=c'$, và $a'=d'$.
Vì vậy: $a+b+c+d = d_1a' + d_2b' + d_1c' + d_2d' = d_1a' + d_2c' + d_1c' + d_2a' = (a'+b')(d_1+d_2)$ là hợp số. (đpcm)
P/s: Lời giải trên, bạn chưa hiểu chỗ nào thì có thể nhắn tin riêng với mình
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho $4$ số tự nhiên $a, b, c, d$ thỏa mãn $ab=cd$. Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp sốBắt đầu bởi nguyetnguyet829, 20-01-2023 songuyento, hopso, chungminh và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho $4$ số tự nhiên $a, b, c, d$ thỏa mãn $ab=cd$. Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp sốBắt đầu bởi nguyetnguyet829, 19-01-2023 hopso, songuyento, chungminh |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
$\bigtriangleup ABC$ nhọn, đường cao $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $H$, $BD=CD=1/2 BC$. Đường thẳng $a$ qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $BM$,Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 19-01-2023 hinhhoc, chungminh, duongcao |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh $n^3+n+2$ hợp sốBắt đầu bởi nguyetnguyet829, 19-01-2023 #songuyento, hopso, sotunhien |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Nếu b là số nguyên tố khác 3 thì $3n+2+1993b^2$ là hợp sốBắt đầu bởi nguyetnguyet829, 18-01-2023 songuyeto, hopso, sotunhien và . |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh