Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh dãy $(s_n)$ với $s_n=x_1+x_2+...+x_n$ hội tụ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Cho dãy $(x_n)$ là dãy dương thỏa: $lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1}{2}$. Chứng minh dãy $(s_n)$ với $s_n=x_1+x_2+...+x_n$ hội tụ.



#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Dùng tiêu chuẩn Cauchy thôi.

 

Vì $\lim_{n \to \infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{1}{2}$ nên tồn tại $N \in \mathbb{N}$ sao cho $\dfrac{x_{n+1}}{x_n} < \dfrac{3}{4}$ với mọi $n \ge N$.

Từ đó với mọi $n > N$ thì $x_n < \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - N} x_N$.

 

Xét $m > n \ge N$, ta có $$\begin{align*}|s_m - s_n| & = x_{n+1} + \cdots + x_m \\ & < \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1 - N} x_N + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{m - N} x_N \\ & =  \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1 - N}x_N\dfrac{1 -  \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-m}}{1 - \dfrac{3}{4}} \\ & < 4x_N\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1 - N} \end{align*}.$$ Cố định $\varepsilon > 0$ và lấy $$n_\varepsilon = N + \max\left\{\left\lfloor\frac{\ln 4 + \ln x_N - \ln \varepsilon}{\ln 4 - \ln 3} \right \rfloor,0 \right\}.$$ Thế thì $n_\varepsilon \ge N$ cũng như $n_\varepsilon - N + 1 > \frac{\ln 4 + \ln x_N - \ln \varepsilon}{\ln 4 - \ln 3}$, hay $\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n_{\varepsilon} + 1 - N} > \frac{4x_N}{\varepsilon}$, do đó với $m > n \ge n_\varepsilon$ thì $$|s_m - s_n| < 4x_N\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1 - N} \le 4x_N\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n_{\varepsilon}+1 - N} < \varepsilon.$$


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh