Hình như bạn trên bị ngộ nhận.
Dựng $X'$ sao cho $\overline{OX}.\overline{OX'} = OB^2$, và tương tự dựng $Y',Z'$.
Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm $BC,CA,AB$.
Ta có $\overline{OX}.\overline{OX'} = \overline{OM}.\overline{OA'}\Rightarrow \frac{\overline{OX'}}{\overline{OM}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OX}} = k$
$\Rightarrow \frac{\overline{OX'}}{\overline{AH}} = \frac{k}{2}$.
Tương tự ta có $\frac{\overline{OY'}}{\overline{BH}} = \frac{\overline{OZ'}}{\overline{CH}} = \frac{k}{2}$.
Do đó lấy $I$ thuộc $OH$ sao cho $\frac{\overline{OI}}{\overline{HI}} = \frac{-k}{2}$ thì $AX',BY',CZ'$ đồng quy tại $I$.
Bây giờ ta chứng minh $AX,AX'$ đẳng giác là được. Thật vậy, do $OA^2 = \overline{OX} . \overline{OX'}$ nên $AO$ là tiếp tuyến của $AXX'$
$\Rightarrow (XA,XX')\equiv (AO, AX')\pmod \pi\Rightarrow (XA,AH)\equiv (AO,AX')\pmod \pi$.
Mà $AO,AH$ đẳng giác nên $AX,AX'$ đẳng giác. (đpcm)