Đến nội dung

Hình ảnh

$AX,BY,CZ$ đồng quy

- - - - - hình học tam giác nội tiếp vị tự đồng quy

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O).$ Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B,C$ cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C'.$

Xét phép vị tự tâm $O$ tỉ số bất kì biến tam giác $A'B'C'$ thành tam giác $XYZ.$ Chứng minh $AX,BY,CZ$ đồng quy.

 

Hình gửi kèm

  • momo-upload-api-210602154314-637582453946843849.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 27-01-2023 - 23:30


#2
ax4156

ax4156

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Gọi AX, BY, CZ cắt YZ, ZX,XY tại A1, B1, C1. Theo định lý Ta lét ta có:

ta có A1Z/A1Y.C1Y/C1X. B1X/B1Z =  AC'/AB'.CB'/CA'. BA'/BC' = 1. Do đó theo định lý Ceva ta có đpcm.



#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Hình như bạn trên bị ngộ nhận.

Dựng $X'$ sao cho $\overline{OX}.\overline{OX'} = OB^2$, và tương tự dựng $Y',Z'$.

Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm $BC,CA,AB$.

Ta có $\overline{OX}.\overline{OX'} = \overline{OM}.\overline{OA'}\Rightarrow \frac{\overline{OX'}}{\overline{OM}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OX}} = k$

$\Rightarrow \frac{\overline{OX'}}{\overline{AH}} = \frac{k}{2}$.

Tương tự ta có $\frac{\overline{OY'}}{\overline{BH}} = \frac{\overline{OZ'}}{\overline{CH}} = \frac{k}{2}$.

Do đó lấy $I$ thuộc $OH$ sao cho $\frac{\overline{OI}}{\overline{HI}} = \frac{-k}{2}$ thì $AX',BY',CZ'$ đồng quy tại $I$.

Bây giờ ta chứng minh $AX,AX'$ đẳng giác là được. Thật vậy, do $OA^2 = \overline{OX} . \overline{OX'}$ nên $AO$ là tiếp tuyến của $AXX'$

$\Rightarrow (XA,XX')\equiv (AO, AX')\pmod \pi\Rightarrow (XA,AH)\equiv (AO,AX')\pmod \pi$.

Mà $AO,AH$ đẳng giác nên $AX,AX'$ đẳng giác. (đpcm)

 

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, tam giác, nội tiếp, vị tự, đồng quy

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh