Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Đường thẳng vuông góc với IA tại I cắt BC tại X, đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt AC tại Y, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt AB tại Z. Chứng minh: X, Y, Z thẳng hàng.
#1
Đã gửi 29-01-2023 - 19:47
#2
Đã gửi 29-01-2023 - 22:10
YI cắt AB,BC tại J,K , XI cắt AB,AC tại G,H , ZI cắt BA,AC tại L,M
Dùng menelaus cho tg BAC, cát tuyến X,G,H có được $\frac{XC}{XB}=\frac{HC}{BG}$
Tương tự có được $\frac{YA}{YC}=\frac{AJ}{KC}; \frac{ZB}{ZA}=\frac{LB}{AM}$
$\frac{HC}{BG}=\frac{S_{IHC}}{S_{IHG}}=\frac{HI.IC.sin\angle HIC}{GI.IB.sin\angle GIB}=\frac{CI}{IB}.\frac{sin\angle HIC}{sin\angle GIB}$
Tương tự : $\frac{AJ}{KC}=\frac{AI}{CI}.\frac{sin\angle AIJ}{sin\angle CIK};\frac{LB}{AM}=\frac{BI}{IA}.\frac{sin\angle BIL}{sin\angle AIM}$
$\Rightarrow \frac{XC}{XB}.\frac{YA}{YC}.\frac{ZB}{ZA}=\frac{sin\angle HIC}{sin\angle GIB}.\frac{sin\angle AIJ}{sin\angle CIK}.\frac{sin\angle BIL}{sin\angle AIM}$
Ta có ; $\angle HIC=\angle AIM;\angle AIJ=\angle GIB; \angle BIL=\angle CIK$
$\Rightarrow \frac{XC}{XB}.\frac{YA}{YC}.\frac{ZB}{ZA}=1 \Rightarrow X,Y,Z$ thẳng hàng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 29-01-2023 - 22:12
- Moon Loves Math và nguoinguhinhhoc thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương tích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh