Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 HPhatMessi

HPhatMessi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sóc Trăng

Đã gửi 17-07-2020 - 19:55

Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

b) $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$



#2 Tran Danh

Tran Danh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:=)))

Đã gửi 18-07-2020 - 16:51

a/ Do $a,b,c \in [0;1]$

=> $(1-a)(1-b)(1-c) \geq 0 \geq -abc$

=> $1 \geq a+b+c-ab-bc-ca$

 

Do $a,b,c \in [0;1]$

=> $a(a-1)(b-1) \geq 0$

=> $a^2b+a\geq a^2+ab$

Chứng minh tương tự, ta có

$b^2c+b \geq b^2+bc$

$c^2a+c \geq c^2 + ca$

Suy ra $a^2 +b^2+c^2 +ab+bc+ca \leq a+b+c+a^2b+b^2c+c^2a$

Suy ra $a^2+b^2+c^2 \leq (a+b+c-ab-bc-ca)+a^2b+b^2c+c^2a \leq 1+a^2b+b^2c+c^2a$

 

b/ Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min \left \{ a,b,c \right \}$

Khi đó ta có $b^2c+c^2a-2c^3\geq0$

=> $3+a^2b+b^2c+c^2a -2a^3-2b^3-2c^3 \geq 3+a^2b-2a^3-2b^3 (1)$

Giả sử $a \geq b$

Khi đó$(a^2b-b^3) +(1-b^3)+(2-2a^3) = 3+a^2b-2a^3-2b^3\geq0$

Giả sử $b >a$

Khi đó $(a^2b-a^3) + (1-a^3)+(2-2b^3) =3+a^2b-2a^3-2b^3\geq 0$

Vậy $3+a^2b-a^3-b^3 \geq 0 (2)$

Áp dụng $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Danh: 18-07-2020 - 17:10





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh