Đến nội dung

Hình ảnh

Tính hệ số của $x^6$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Tính hệ số của $x^6$ trong $(1+x)(1+x^2)^2(1+x^3)^3...(1+x^n)^n$.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Giải (by pen and paper ): Luyện " công phu " Coefficient Extraction :
Xét các trường hợp $1\leq n\leq 6$:
$$\begin {align*}
n=1,2&:\:[x^6](1+x)=[x^6](1+x)(1+x^2)^2=\boldsymbol {0}\\
n=3&:\:[x^6](1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=([x^6]+3[x^3]+3[x^0])(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=0+3\cdot2+3\cdot1=\boldsymbol {9}\\
n=4&: [x^6](1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+3x^3+4x^4+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=([x^6]+3[x^3]+4[x^2]+3[x^0])(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=0+3\cdot 2+4\cdot 2+3\cdot 1=\boldsymbol {17}\\
n=5&:\:[x^6](1+x^5)^5(1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+5x^5)(1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4+5x^5)(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=([x^6]+4[x^2]+5[x])(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=(6+3)+4\cdot 2+5\cdot 1= \boldsymbol {22}\\
n=6&:\:[x^6](1+x^6)^6(1+x^5)^5(1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+6x^6)(1+5x^5)(1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4+5x^5+6x^6)(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=([x^6]+4[x^2]+5[x]+6[x^0])(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=
6+3+4\cdot2+5\cdot 1+6=\boldsymbol {28}
\end{align*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 02-04-2023 - 20:08

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh