Tính hệ số của $x^6$ trong $(1+x)(1+x^2)^2(1+x^3)^3...(1+x^n)^n$.
Tính hệ số của $x^6$
Bắt đầu bởi Nobodyv3, 03-02-2023 - 15:10
#1
Đã gửi 03-02-2023 - 15:10
- DOTOANNANG và thanhng2k7 thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#2
Đã gửi 02-04-2023 - 16:55
Giải (by pen and paper ): Luyện " công phu " Coefficient Extraction :
Xét các trường hợp $1\leq n\leq 6$:
$$\begin {align*}
n=1,2&:\:[x^6](1+x)=[x^6](1+x)(1+x^2)^2=\boldsymbol {0}\\
n=3&:\:[x^6](1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=([x^6]+3[x^3]+3[x^0])(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=0+3\cdot2+3\cdot1=\boldsymbol {9}\\
n=4&: [x^6](1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+3x^3+4x^4+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=([x^6]+3[x^3]+4[x^2]+3[x^0])(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=0+3\cdot 2+4\cdot 2+3\cdot 1=\boldsymbol {17}\\
n=5&:\:[x^6](1+x^5)^5(1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+5x^5)(1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4+5x^5)(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=([x^6]+4[x^2]+5[x])(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=(6+3)+4\cdot 2+5\cdot 1= \boldsymbol {22}\\
n=6&:\:[x^6](1+x^6)^6(1+x^5)^5(1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+6x^6)(1+5x^5)(1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4+5x^5+6x^6)(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=([x^6]+4[x^2]+5[x]+6[x^0])(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=
6+3+4\cdot2+5\cdot 1+6=\boldsymbol {28}
\end{align*}$$
Xét các trường hợp $1\leq n\leq 6$:
$$\begin {align*}
n=1,2&:\:[x^6](1+x)=[x^6](1+x)(1+x^2)^2=\boldsymbol {0}\\
n=3&:\:[x^6](1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=([x^6]+3[x^3]+3[x^0])(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=0+3\cdot2+3\cdot1=\boldsymbol {9}\\
n=4&: [x^6](1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+3x^3+4x^4+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=([x^6]+3[x^3]+4[x^2]+3[x^0])(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=0+3\cdot 2+4\cdot 2+3\cdot 1=\boldsymbol {17}\\
n=5&:\:[x^6](1+x^5)^5(1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+5x^5)(1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4+5x^5)(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=([x^6]+4[x^2]+5[x])(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=(6+3)+4\cdot 2+5\cdot 1= \boldsymbol {22}\\
n=6&:\:[x^6](1+x^6)^6(1+x^5)^5(1+x^4)^4(1+x^3)^3(1+x^2)^2(1+x)\\
&=[x^6](1+6x^6)(1+5x^5)(1+4x^4)(1+3x^3+3x^6)(1+2x^2+x^4)(1+x)\\
&=[x^6](1+4x^4+5x^5+6x^6)(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=([x^6]+4[x^2]+5[x]+6[x^0])(1+2x^2+3x^3+x^4+6x^5+3x^6)(1+x)\\
&=
6+3+4\cdot2+5\cdot 1+6=\boldsymbol {28}
\end{align*}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 02-04-2023 - 20:08
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
-
Google (1)