Tính hệ số của $x^{2023}$ trong
$$f(x)=(1+x)^2(1+x^2)^3(1+x^4)^3...(1+x^{1024})^3$$
Tính hệ số của số hạng chứa $x^{2023}$ trong khai triển của $f(x)=(1+x)^2(1+x^2)^3(1+x^4)^3...(1+x^{1024})^3$
Bắt đầu bởi Nobodyv3, 22-02-2023 - 23:20
#2
Đã gửi 26-02-2023 - 22:26
Nobodyv3
-
- Thành viên
-
- 941 Bài viết
Generating Functions Faithful
Nhân 2 vế với $(1-x^2)^3$, ta có :
$\begin {align*}
f(x)&=\frac {(1+x)^2(1-x^2)^3(1+x^2)^3(1+x^4)^3...(1+x^{1024})^3}{(1-x^2)^3}\\
&=\frac {(1+x)^2(1-x^{2048})^3}{(1-x^2)^3}\\
\Longrightarrow [x^{2023}]f(x)&=[x^{2023}]\frac {(1+x)^2}{(1-x^2)^3}\\
&=[x^{2023}](1+2x+x^2)\sum_{k=0}^{\infty} \binom{k+2}{2}x^{2k}\\
&=2\binom{1011+2}{2}=1013\cdot1012=\boldsymbol {1025156}
\end {align*}$
$\begin {align*}
f(x)&=\frac {(1+x)^2(1-x^2)^3(1+x^2)^3(1+x^4)^3...(1+x^{1024})^3}{(1-x^2)^3}\\
&=\frac {(1+x)^2(1-x^{2048})^3}{(1-x^2)^3}\\
\Longrightarrow [x^{2023}]f(x)&=[x^{2023}]\frac {(1+x)^2}{(1-x^2)^3}\\
&=[x^{2023}](1+2x+x^2)\sum_{k=0}^{\infty} \binom{k+2}{2}x^{2k}\\
&=2\binom{1011+2}{2}=1013\cdot1012=\boldsymbol {1025156}
\end {align*}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 26-02-2023 - 22:30
- chanhquocnghiem, DOTOANNANG và Hoang72 thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
