Cho $G$ là một nhóm hữu hạn và $H, K \subset G$. CMR
$\left | H \right |+ \left | K \right |>\left | G \right | \Rightarrow G=HK=\left \{ ab/ a\in H,b \in K \right \}$
Cho $G$ là một nhóm hữu hạn và $H, K \subset G$. CMR
$\left | H \right |+ \left | K \right |>\left | G \right | \Rightarrow G=HK=\left \{ ab/ a\in H,b \in K \right \}$
Cho $G$ là một nhóm hữu hạn và $H, K \subset G$. CMR
$\left | H \right |+ \left | K \right |>\left | G \right | \Rightarrow G=HK=\left \{ ab/ a\in H,b \in K \right \}$
Với $S\subset G,g\in G$, ký hiệu $S^{-1}=\{s^{-1}|s\in S\},gS=\{gs|s\in S\}$.
Lưu ý $x^{-1}=y^{-1}\Leftrightarrow x=y, gx=gy\Leftrightarrow x=y,\forall x,y,g\in G$, vậy nên $|S|=|S^{-1}|,|S|=|gS|,\forall S\subset G,g\in G$.
Lấy $g\in G$ bất kì, ta có $|H|+|gK^{-1}|=|H|+|K|>|G|$ nên $|H\cap gK^{-1}|>0$, chọn được $h\in H\cap gK^{-1},k\in K,gk^{-1}=h$ thì $hk=g$, vậy $G=HK$.
Với $S\subset G,g\in G$, ký hiệu $S^{-1}=\{s^{-1}|s\in S\},gS=\{gs|s\in S\}$.
Lưu ý $x^{-1}=y^{-1}\Leftrightarrow x=y, gx=gy\Leftrightarrow x=y,\forall x,y,g\in G$, vậy nên $|S|=|S^{-1}|,|S|=|gS|,\forall S\subset G,g\in G$.
Lấy $g\in G$ bất kì, ta có $|H|+|gK^{-1}|=|H|+|K|>|G|$ nên $|H\cap gK^{-1}|>0$, chọn được $h\in H\cap gK^{-1},k\in K,gk^{-1}=h$ thì $hk=g$, vậy $G=HK$.
Bạn giải thích cái chỗ mà $\left | H \right |+\left | gK^{-1} \right |>|G|$ thì có đc $|H\cap gK^{-1}|>0$ giúp mình với ạ.
Bạn giải thích cái chỗ mà $\left | H \right |+\left | gK^{-1} \right |>|G|$ thì có đc $|H\cap gK^{-1}|>0$ giúp mình với ạ.
Rõ ràng $H,gK^{-1}\subset G$ nên $H\cup gK^{-1}\subset G$. Vậy $|G|\geq |H\cup gK^{-1}|=|H|+|gK^{-1}|-|H\cap gK^{-1}|>|G|-|H\cap gK^{-1}|\Rightarrow |H\cap gK^{-1}|>0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh