Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho tam giác ABC, P nằm trong tam giác sao cho góc PBA = góc PCA. Một đường thẳng d đi qua P cắt AB, AC tại F,E. Đường thẳng qua E song song BP cắt đường thẳng qua F song song CP cùng với BC tạo nên tam giác XYZ. CMR (XYZ) tiếp xúc (ABC)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Explorer: 10-02-2023 - 21:50

[Hoang72]

Kí hiệu như hình vẽ.

$XE,XF$ cắt $AB,AC$ tại $H,G$. Dễ thấy $E,F,G,H$ đồng viên.

$(XFH)$ cắt $(XEG)$ tại $J$.

Ta có hai tam giác $JFH$ và $JGE$ đồng dạng cùng hướng và $\frac{\overline{BF}}{\overline{BH}} = \frac{\overline{CG}}{\overline{CE}}$ nên $(JB,BE)\equiv (JC,CG)\pmod \pi$

$\Rightarrow J\in (ABC)$.

Lại có $A$ là tâm đẳng phương của $(XFH),(XEG),(EFGH)$ nên $XJ$ đi qua $A$.

$\begin{aligned} \Rightarrow (JH,JB)&\equiv (JH,JX) + (JX,JB)\equiv (FH,FX)+ ( CA,CB) \equiv (AB,CP) + (CA,CB) \\&\equiv (AB,CB) + (CA,CP)\equiv (AB,CB) + (BP,BA)\equiv (BP,BC)\equiv (YH,YB)\pmod \pi\end{aligned}$

$\Rightarrow B,Y,J,H$ đồng viên. Tương tự, $C,Z,J,G$ đồng viên.

Từ đây dễ dàng suy ra $J\in (XYZ)$.

Kẻ tiếp tuyến $d$ tại $J$ của $(O)$.

Ta có: $(d,JY)\equiv (d,JB) + (JB,JY)\equiv (CJ,CB) + (HB,HY)\equiv (AJ,AB)+ (HB,HY)\equiv (AJ,HY)\equiv (XJ,XY)\pmod \pi$

$\Rightarrow d$ là tiếp tuyến của $(XYZ)\Rightarrow (ABC)$ tiếp xúc $(XYZ)$. (đpcm)

 

Hình gửi kèm

•