Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$Min P = \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{3c}{c+a}$

min bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 30-07-2020 - 09:13

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $b^2\geq ca$  và $c^2 \geq ab$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$ P = \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{3c}{c+a}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 30-07-2020 - 09:14

"After all this time?"

"Always.."      


#2 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 490 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{CNT}}$

Đã gửi 13-08-2020 - 11:57

Biến đổi giả thiết với điều kiện các biến đã cho đều dương:

$b^2\geq ca\rightarrow \frac{b}{c}.\frac{b}{a}\geq 1. $

$CMTT: \frac{c}{a}.\frac{c}{b}\geq 1$

$\rightarrow \frac{b}{a}\geq \frac{c}{b}\geq \frac{a}{c}\rightarrow bc\geq a^2$

Lại có:

$b^2\geq ca\rightarrow b^3\geq abc\geq a^3\rightarrow b\geq a\rightarrow c^2\geq ab\geq a^2\rightarrow b,c\geq a$

Từ đó: 

$c\geq a\rightarrow bc\geq ab\rightarrow \frac{c}{b}.\frac{b}{a}\geq 1$

Biến đổi biểu thức:

$P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{3c}{c+a}= \frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{3}{1+\frac{a}{c}}$

Đổi biến: 

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac{b}{a}}=x & \\ \sqrt{\frac{c}{b}}=y & \\ \sqrt{\frac{a}{c}}=z & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow xyz=1$

Như đã có ở trên thì có được: 

$xy\geq 1\rightarrow z\leq 1$

Ta có bổ đề sau: 

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}\rightarrow (xy-1)(x-y)^2\geq 0(true-with-xy\geq 1)$\

Từ đó, áp dụng bổ đề và biến đổi tương đương với biến $z$: 

$P\geq \frac{2}{1+xy}+\frac{3}{1+z^2}=\frac{2z}{z+1}+\frac{3}{1+z^2}\geq \frac{5}{2}\rightarrow (z-1)(z^2+6z+1)\leq 0(true-by-z\leq 1)$

Do đó ta chứng minh xong                 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ 

$\blacksquare$

P/s: Bài này khá chuối đoạn biến đổi : ((  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 08-09-2020 - 18:39


#3 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Đã gửi 13-08-2020 - 18:51

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $b^2\geq ca$ và $c^2 \geq ab$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$ P = \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{3c}{c+a}$$

Từ gt ta được $a=min${$a,b,c$}
Khi ấy
$(a+b)(b+c)(c+a)(2P-5)=8a^2(c-a)+4a(c-a)(2b+c-3a)+(c-a)(b-a)(3b+c-4a)$

#4 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 490 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{CNT}}$

Đã gửi 13-08-2020 - 19:20

Từ gt ta được $a=min${$a,b,c$}
Khi ấy
$(a+b)(b+c)(c+a)(2P-5)=8a^2(c-a)+4a(c-a)(2b+c-3a)+(c-a)(b-a)(3b+c-4a)$

Nếu không biến đổi được giả thiết để tìm a min mà giả sử b hoặc c min thì liệu có cơ sở tách được như trên không bạn ? Ý mình là công thức chung ấy hay tách theo cảm tính



#5 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Đã gửi 13-08-2020 - 20:18

Nếu không biến đổi được giả thiết để tìm a min mà giả sử b hoặc c min thì liệu có cơ sở tách được như trên không bạn ? Ý mình là công thức chung ấy hay tách theo cảm tính

Đây là buffalow ways
Chi tiết bạn hãy hỏi tthnew nhé !

#6 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 14-08-2020 - 21:05

Biến đổi giả thiết với điều kiện các biến đã cho đều dương:

$b^2\geq ca\rightarrow \frac{b}{c}.\frac{b}{a}\geq 1. $

$CMTT: \frac{c}{a}.\frac{c}{b}\geq 1$

$\rightarrow \frac{b}{a}\geq \frac{c}{b}\geq \frac{a}{c}\rightarrow bc\geq a^2$

Lại có:

$b^2\geq ca\rightarrow b^3\geq abc\geq a^3\rightarrow b\geq a\rightarrow c^2\geq ab\geq a^2\rightarrow b,c\geq a$

Từ đó: 

$c\geq a\rightarrow bc\geq ab\rightarrow \frac{c}{b}.\frac{b}{a}\geq 1$

Biến đổi biểu thức:

$P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{3c}{c+a}= \frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{3}{1+\frac{a}{c}}$

Đổi biến: 

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac{b}{a}}=x & \\ \sqrt{\frac{c}{b}}=y & \\ \sqrt{\frac{a}{c}}=z & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow xyz=1$

Như đã có ở trên thì có được: 

$xy\geq 1\rightarrow z\leq 1$

Ta có bổ đề sau: 

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}\rightarrow (xy-1)(x-y)^2\geq 0(true-with-xy\geq 1)$\

Từ đó, áp dụng bổ đề và biến đổi tương đương với biến $z$: 

$P\geq \frac{2}{1+xy}+\frac{3}{1+z^2}=\frac{2z}{z+1}+\frac{3}{1+z^2}\geq \frac{5}{2}\rightarrow (z-1)(z^2+6z+1)\leq 0(true-by-z\leq 1)$

Do đó ta chứng minh xong                 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ 

$\boxed{}$

P/s: Bài này khá chuối đoạn biến đổi : ((  

Cách của mình cho đoạn cuối:

Do $z \leq 1$ nên $z^2 \leq z$

Do đó $P \geq \dfrac{2z}{z+1}+\frac{3}{z+1}=\frac{2z+3}{z+1}$

Xét $f(z)=\frac{2z+3}{z+1}$. ta có $f'(z)=-\frac{1}{(z+1)^2} <0$. Do đó $f(z)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Suy ra $f(z) \geq f(1)=\frac{5}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 14-08-2020 - 21:07

"After all this time?"

"Always.."      


#7 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 08-09-2020 - 18:21

Nếu không biến đổi được giả thiết để tìm a min mà giả sử b hoặc c min thì liệu có cơ sở tách được như trên không bạn ? Ý mình là công thức chung ấy hay tách theo cảm tính

 

Đây chính là phép đặt $c=a+s,b=a+t.$ Sau khi rút gọn ta thu được$:$

 

$$8\,{a}^{2}s+4\,s \left( s+2\,t \right) a+st \left( 3\,t+s \right) \geqslant 0.$$

 

$\text{Buffalo}\ast \text{Way}$ là một phương pháp khá hiệu quả đối với hầu hết các bất đẳng thức dạng đa thức bậc $3.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 08-09-2020 - 18:22






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh