Chủ đề này có 1 trả lời

[Sangnguyen3]

Tìm tất cả số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n\geq 2$ và các số nguyên dương phân biệt $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ thỏa mãn : 

$\begin{cases} max\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}=2p \\ \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}=1 \end{cases}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 15-02-2023 - 11:58

[Hoang72]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a_n = 2p$.

Xét 2 trường hợp:

$\bullet$ $p\nmid a_i,\forall i = \overline{1,n-1}$: Khi đó $\begin{cases}\displaystyle v_p\left(\frac{1}{a_i}\right)=0,\forall i = \overline{1,n-1} \\ v_p\left(\dfrac{1}{a_n}\right) = -1\end{cases}$.

Dẫn tới $v_p\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_n}\right) = -1$, vô lí vì $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_n} = 1$.

$\bullet$ $\exists i\in \{1;2;...;n-1\}: p\mid a_i$

Giả sử $p\mid a_{n-1}\Rightarrow a_{n-1} = p$.

Dẫn đến không có số nào trong các số $a_1,a_2,...,a_{n-2}$ chia hết cho $p$.

Ta có $\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n-1}}=\frac{1}{2p} +\frac{1}{p} = \frac{3}{2p}$.

Khi $p=3$ thì ta chọn $(a_1,a_2,a_3) = (2;3;6)$ thoả mãn.

Xét $p\neq 3$. Vì $\frac{3}{2p} < 1$ nên $n\geq 3$.

Đồng thời, $p\neq 3$ nên $v_p\left(\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n-1}}\right) = v_p\left(\dfrac{3}{2p}\right) = -1$.

Lại có $v_p\left(\dfrac{1}{a_i}\right) = 0,\forall i = \overline{1,n-2}$.

Do đó $v_p\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_n}\right) = -1$, vô lí.

Vậy $p=3$.