Cho $a=b=\frac{x+y}{2}$ ta có $f(x) + f(y) = 2f\left ( \frac{x+y}{2}\right),\forall x,y>0$. $(*)$
Khi đó ta có: $f\left(\frac{x+y+z}{2}\right) = \frac{f(x+y) + f(z)}{2} = \frac{\frac{f(2x)+f(2y)}{2} + f(z)}{2} = \frac{f(2x)+f(2y)+2f(z)}{4},\forall x,y,z>0$.
Đổi vai trò của $x,z$ ta có $f(2x) + 2f(z) = f(2z) + 2f(x),\forall x,z>0$
$\Rightarrow f(2x) - 2f(x) = c,\forall x > 0$, trong đó $c$ là hằng số bất kì.
Do đó từ $(*)$, ta có $f(x) + f(y) = f(x+y) - c,\forall x,y>0$
Đặt $h(x)= f(x) + c,\forall x>0$ thì $h$ là hàm cộng tính.
Do đó với mọi $n\in\mathbb N^*, x>0$ thì $h(nx) = nh(x)$.
Mặt khác $h(nx) > c$, do đó $nh(x) > c\Rightarrow h(x) > \frac{c}{n}$.
Cho $n\to+\infty$, suy ra $h(x)\geq 0,\forall x>0$.
Từ đó $h$ là hàm không giảm, mà $h$ cộng tính nên $h(x) = mx,\forall x>0$
$\Rightarrow f(x) = mx - c,\forall x > 0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 17-02-2023 - 18:01