Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$

Có $f(x)+f(y)=f(a)+f(b)$ với $x+y=a+b;a,b,x,y>0$ 

CMR khi đó $f(x)=mx+n$ với $m,n\geq 0$

Đoạn này mình có đọc trong một lời giải phương trình hàm mà ko hiểu lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Explorer: 16-02-2023 - 20:30

[Hoang72]

Cho $a=b=\frac{x+y}{2}$ ta có $f(x) + f(y) = 2f\left ( \frac{x+y}{2}\right),\forall x,y>0$. $(*)$

Khi đó ta có: $f\left(\frac{x+y+z}{2}\right) = \frac{f(x+y) + f(z)}{2} = \frac{\frac{f(2x)+f(2y)}{2} + f(z)}{2} = \frac{f(2x)+f(2y)+2f(z)}{4},\forall x,y,z>0$.

Đổi vai trò của $x,z$ ta có $f(2x) + 2f(z) = f(2z) + 2f(x),\forall x,z>0$

$\Rightarrow f(2x) - 2f(x) = c,\forall x > 0$, trong đó $c$ là hằng số bất kì.

Do đó từ $(*)$, ta có $f(x) + f(y) = f(x+y) - c,\forall x,y>0$

Đặt $h(x)= f(x) + c,\forall x>0$ thì $h$ là hàm cộng tính.

Do đó với mọi $n\in\mathbb N^*, x>0$ thì $h(nx) = nh(x)$.

Mặt khác $h(nx) > c$, do đó $nh(x) > c\Rightarrow h(x) > \frac{c}{n}$.

Cho $n\to+\infty$, suy ra $h(x)\geq 0,\forall x>0$.

Từ đó $h$ là hàm không giảm, mà $h$ cộng tính nên $h(x) = mx,\forall x>0$

$\Rightarrow f(x) = mx - c,\forall x > 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 17-02-2023 - 18:01