Chủ đề này có 2 trả lời

[Ruka]

Cho hàm số $\large{f(0:+\infty) \to \mathbb{R}}$ thỏa mãn $\large{f(tan2x) = tan^4x + \dfrac{1}{tan^4x} \forall x \in (0;\dfrac{\pi}{2})}$

 

CMR: $f(sinx) + f(cosx) \ge 196$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 16-02-2023 - 22:58

[Ruka]

Không biết bài này có lm theo đơn ánh,toàn ánh,song ánh đc ko ta :??

 

Đặt $t=tan2x$

 

Khi đó $t = \dfrac{2tanx}{1-tan^2x}$

 

$\to \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{2tanx} - \dfrac{tanx}{2}$

 

$\to \dfrac{2}{t} = \dfrac{1}{tanx} - tanx$

 

$\to \dfrac{4}{t^2} = \dfrac{1}{tan^2x} + tan^2x - 2$

 

$\to \dfrac{4}{t^2} + 2 = \dfrac{1}{tan^2x} + tan^2x $

 

$\to \dfrac{16}{t^4} + \dfrac{16}{t^2} + 4 = \dfrac{1}{tan^4x} + tan^4x + 2$

 

$\to \dfrac{16}{t^4} + \dfrac{16}{t^2} + 2 = \dfrac{1}{tan^4x} + tan^4x $

 

Vậy hàm cần tìm có dạng : $f(t) = \dfrac{16}{t^4} + \dfrac{16}{t^2} + 2$

 

Còn cái BĐT kia ai hd vs ạ   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 17-02-2023 - 00:06

[chanhquocnghiem]

Không biết bài này có lm theo đơn ánh,toàn ánh,song ánh đc ko ta :??

 

Đặt $t=tan2x$

 

Khi đó $t = \dfrac{2tanx}{1-tan^2x}$

 

$\to \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{2tanx} - \dfrac{tanx}{2}$

 

$\to \dfrac{2}{t} = \dfrac{1}{tanx} - tanx$

 

$\to \dfrac{4}{t^2} = \dfrac{1}{tan^2x} + tan^2x - 2$

 

$\to \dfrac{4}{t^2} + 2 = \dfrac{1}{tan^2x} + tan^2x $

 

$\to \dfrac{16}{t^4} + \dfrac{16}{t^2} + 4 = \dfrac{1}{tan^4x} + tan^4x + 2$

 

$\to \dfrac{16}{t^4} + \dfrac{16}{t^2} + 2 = \dfrac{1}{tan^4x} + tan^4x $

 

Vậy hàm cần tìm có dạng : $f(t) = \dfrac{16}{t^4} + \dfrac{16}{t^2} + 2$

 

Còn cái BĐT kia ai hd vs ạ   

Vậy cần phải chứng minh $\frac{16}{\sin^4x}+\frac{16}{\cos^4x}+\frac{16}{\sin^2x}+\frac{16}{\cos^2x}\geqslant 192$
$\Leftrightarrow \frac{16(\sin^4x+\cos^4x)}{\sin^4x\cos^4x}+\frac{16}{\sin^2x\cos^2x}\geqslant 192$

$\Leftrightarrow \sin^4x+\cos^4x+\sin^2x\cos^2x\geqslant 12\ \sin^4x\cos^4x$

$\Leftrightarrow 1-\sin^2x\cos^2x\geqslant 12\ \sin^4x\cos^4x$

$\Leftrightarrow 1\geqslant \frac{1}{4}\ \sin^22x+\frac{3}{4}\ \sin^42x$

Bất đẳng thức cuối cùng là hiển nhiên.