Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh a,b nguyên tố cùng nhau và 2b^2-1 chia hết cho a^2-b^2

số học chia hết nguyên tố cùng nhau

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 quanjunior

quanjunior

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Wakanda
  • Sở thích:Bóng chày (Ted Williams), IT

Đã gửi 04-08-2020 - 11:05

Bài 1: Cho a,b là hai số nguyên dương a,b (a>b) thỏa mãn điều kiện $ab + 1 \vdots a+b$ và $ab-1 \vdots a-b$.

Chứng minh rằng: a,b nguyên tố cùng nhau và $2(b^{2}-1)\vdots a^{2}-b^{2}$.

Bài 2: Cho 2019 số nguyên dương phân biệt $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2019}$  lớn hơn 1. Chứng minh rằng: tích 

$(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)(a_{3}^{2}+1)...(a_{2019}^{2}+1)$ không chia hết cho tích $(a_{1}a_{2}a_{3}...a_{2019})^{2}$.



#2 KemQue

KemQue

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 04-08-2020 - 23:05

Bài 1: +) Đặt $gcd(a,b)=d$. Khi đó ta có: $d | a+b | ab+1$ và $d | ab$ nên $d | 1 \Rightarrow d=1$.

+) Ta có: $a+b | ab+1 \Leftrightarrow a+b | a^2-b^2+ab+1 =a(a+b)-(b^2-1) \Rightarrow a+b | (b^2-1)$.

$a-b | ab-1 \Leftrightarrow a-b | b^2-a^2+ab-1 =-a(a-b)+(b^2-1) \Rightarrow a-b | (b^2-1)$.

Mà: $gcd (a+b,a-b) = gcd (a+b,2b) = gcd(a,b) . gcd(a+b,2)|2$.

Nên: $a^2-b^2 | 2(b^2-1)$.

Bài 2: Không mất tính tổng quát ta giả sử: $1 < a_1 < a_2 < ... <a_{2019}$.

Khi đó ta có: $a_i \ge i+1$

$\Rightarrow  \frac{a_{i}^{2}+1}{a_{i}^{2}} \le  \frac{(i+1)^2+1}{(i+1)^2}$.

Ta đặt: $A= \frac{(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)(a_{3}^{2}+1)...(a_{2019}^{2}+1)}{(a_{1}a_{2}a_{3}...a_{2019})^{2}}$.

Rõ ràng: $A>1$.

Mặt khác: $A= \frac{a_1^2+1}{a_1^2}.\frac{a_2^2+1}{a_2^2}...\frac{a_{2019}^2+1}{a_{2019}^2} \le \frac{2^2+1}{2^2}.\frac{3^2+1}{3^2}...\frac{2020^2+1}{2020^2} < \frac{2^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{3^2-1}...\frac{2020^2}{2020^2-1}=2.\frac{2020}{2021} < 2$.

Do đó: $A \notin \mathbb{N} \Rightarrow đpcm$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KemQue: 06-08-2020 - 08:14






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh