Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Có bao nhiêu số nguyên dương x so cho tồn tại số thực y thỏa mãn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Dao Van Chanh

Dao Van Chanh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Hòa, Phú Yên, Việt nam
  • Sở thích:Tìm tòi, tọc mạch

Đã gửi 04-08-2020 - 11:24

Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn \[{\log _2}(x + {2^y}) = {\log _3}\left[ {{3^y} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^y}} \right]\]

 


#2 Dao Van Chanh

Dao Van Chanh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Hòa, Phú Yên, Việt nam
  • Sở thích:Tìm tòi, tọc mạch

Đã gửi 04-08-2020 - 11:41

${\log _2}\left( {x + {2^y}} \right) = {\log _3}\left( {{3^y} + {{\sqrt 2 }^y}} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{x}{{{2^y}}} + 1} \right) = {\log _3}\left( {1 + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)}^y}} \right)$

$x \ge 1 \Rightarrow \frac{x}{{{2^y}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^y} \Rightarrow {\log _2}\left( {\frac{x}{{{2^y}}} + 1} \right) \ge {\log _2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^y} + 1} \right)$

suy ra ${\log _3}\left( {1 + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)}^y}} \right) \ge {\log _2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^y} + 1} \right)$

Nếu y>0 thì: $\frac{{\sqrt 2 }}{3} < \frac{1}{2} \Rightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^y} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^y} \Rightarrow {\log _3}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^y} + 1} \right) > {\log _3}\left( {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)}^y} + 1} \right)$

Tức là ta có ${\log _3}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^y} + 1} \right) > {\log _2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^y} + 1} \right)$

Đây là điều vô lý

Nếu y<=0 , ta có \[{3^y} + {\sqrt 2 ^y} \le 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {x + {2^y}} \right) = {\log _3}\left( {{3^y} + {{\sqrt 2 }^y}} \right) \le {\log _3}2 < 1 \Rightarrow x + {2^y} < 2 \Rightarrow x = 1\]

Lúc đó ta có:

${\log _2}\left( {\frac{1}{{{2^y}}} + 1} \right) = {\log _3}\left( {1 + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)}^y}} \right) = t$
$ \Rightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^y} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^y} = {3^t} - {2^t}$
\[\frac{{\sqrt 2 }}{3} > \frac{1}{3} \Rightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^y} \le {\left( {\frac{1}{3}} \right)^y}\]
\[{\left( {\frac{1}{3}} \right)^y} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^y} \ge {3^t} - {2^t} \Leftrightarrow {3^{ - y}} - {2^{ - y}} \ge {3^t} - {2^t} \Leftrightarrow  - y > t \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^y} > {2^t}\]
Mâu thuẫn với ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^y} = {2^t} - 1 < {2^t}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh