Đến nội dung

Hình ảnh

$x_{n+1} = \frac{1}{2018}x_{n}^{2} + \frac{2017}{2018}x_{n}$

- - - - - dãy số tăng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
TzyNguyen

TzyNguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Cho x1 = 2019 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1

$x_{n+1} = \frac{1}{2018}x_{n}^{2} + \frac{2017}{2018}x_{n}$

Chứng minh rằng đây là một dãy số tăng ngặt và không bị chặn trên. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TzyNguyen: 22-02-2023 - 21:52


#2
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

 

Cho x1 = 2019 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1

$x_{n+1} = \frac{1}{2018}x_{n}^{2} + \frac{2017}{2018}x_{n}$

Chứng minh rằng đây là một dãy số tăng ngặt và không bị chặn trên. 

 

 

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp : $x_n > 1(*)$

Với $n=1$ thì $x_1 = 2019(\text{đúng})$, suy ra $(*)$ đúng với $n =1$

Giả sử $(*)$ đúng với $n=k \ge 1$ 

Khi đó: $x_{k+1}  = \dfrac{1}{2018}x_k^2 + \dfrac{2017}{2018}x_k$

Theo gtqn thì $x_{k+1} \ge \dfrac{1}{2018} + \dfrac{2017}{2018} = 1$

Vậy $x_{k+1} > 1$. Suy ra $(*)$ đúng với $n=k+1$

Theo nlqn thì $(*)$ đúng.

Xét $\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{1}{2017}x_n + \dfrac{2017}{2018} > 1$ (do $x_n > 1$)

Suy ra dãy $x_n$ tăng ngặt

Giả sử dãy $x_n$ bị chặn trên. Theo định lí Weierstrass thì dãy $x_n$ có giới hạn 

Đặt $\lim x_n = t(t > 2019)$ . Khi đó ta có:

$t = \dfrac{1}{2018}t^2 + \dfrac{2017}{2018}t$

$\iff t = 1(\text{Exterminated})$

Từ đây ta suy ra được dãy $x_n$ không bị chặn trên.  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh