Cho x1 = 2019 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1
$x_{n+1} = \frac{1}{2018}x_{n}^{2} + \frac{2017}{2018}x_{n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TzyNguyen: 22-02-2023 - 21:52
Cho x1 = 2019 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1
$x_{n+1} = \frac{1}{2018}x_{n}^{2} + \frac{2017}{2018}x_{n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TzyNguyen: 22-02-2023 - 21:52
Cho x1 = 2019 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1
$x_{n+1} = \frac{1}{2018}x_{n}^{2} + \frac{2017}{2018}x_{n}$
Chứng minh rằng đây là một dãy số tăng ngặt và không bị chặn trên.
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp : $x_n > 1(*)$
Với $n=1$ thì $x_1 = 2019(\text{đúng})$, suy ra $(*)$ đúng với $n =1$
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k \ge 1$
Khi đó: $x_{k+1} = \dfrac{1}{2018}x_k^2 + \dfrac{2017}{2018}x_k$
Theo gtqn thì $x_{k+1} \ge \dfrac{1}{2018} + \dfrac{2017}{2018} = 1$
Vậy $x_{k+1} > 1$. Suy ra $(*)$ đúng với $n=k+1$
Theo nlqn thì $(*)$ đúng.
Xét $\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{1}{2017}x_n + \dfrac{2017}{2018} > 1$ (do $x_n > 1$)
Suy ra dãy $x_n$ tăng ngặt
Giả sử dãy $x_n$ bị chặn trên. Theo định lí Weierstrass thì dãy $x_n$ có giới hạn
Đặt $\lim x_n = t(t > 2019)$ . Khi đó ta có:
$t = \dfrac{1}{2018}t^2 + \dfrac{2017}{2018}t$
$\iff t = 1(\text{Exterminated})$
Từ đây ta suy ra được dãy $x_n$ không bị chặn trên.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh