Chủ đề này có 3 trả lời

[Don Quixote]

Tìm x để $M = \left ( 2x-1 \right )^{{2}}-\left \| 2x-1 \right \|+2$ min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-02-2023 - 22:06
Tiêu đề & LaTeX

[Moon Loves Math]

Ký hiệu $||x||$ chắc là giá trị tuyệt đối nhỉ 

 

Với $x\geq \frac{1}{2}$ thì $|2x-1|=2x-1$, nên:

$M=(2x-1)^2-(2x-1)+2$

$=4x^2-4x+1-2x+1+2$

$=4x^2-6x+4$

$=4\left ( x^2-2\cdot x\cdot \frac{3}{4}+\frac{9}{16} \right )+4-\frac{9}{4}$

$=4\left (x-\frac{3}{4} \right )^2+\frac{7}{4} \geq \frac{7}{4}$

 

Tương tự, với $x<\frac{1}{2}$ thì $|2x-1|=1-2x$, nên:

$M=(2x-1)^2-(1-2x)+2$

$=4x^2-4x+1+2x-1+2$

$=4x^2-2x+2$

$=4\left (x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{4} +\frac{1}{16} \right ) +2-\frac{1}{4}$

$=4\left (x-\frac{1}{4} \right ) ^2+\frac{7}{4} \geq \frac{7}{4}$

 

Trong cả hai trường hợp thì $M\geq \frac{7}{4}$.

Vậy GTNN của M là $\frac{7}{4}$, đạt được tại $x=\frac{3}{4}$ (thỏa $x\geq \frac{1}{2}$ cho TH trên) hoặc $x=\frac{1}{4}$ (thỏa $x<\frac{1}{2}$ cho TH dưới).

[perfectstrong]

Tìm x để $M = \left ( 2x-1 \right )^{{2}}-\left \| 2x-1 \right \|+2$ min

\[M = {\left( {2x - 1} \right)^2} - \left\| {2x - 1} \right\| + 2 = {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \geqslant \frac{7}{4}\]

[Moon Loves Math]

\[M = {\left( {2x - 1} \right)^2} - \left\| {2x - 1} \right\| + 2 = {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \geqslant \frac{7}{4}\]

Cách này nhanh hơn thật nhỉ. Tự nhiên hôm nay suy nghĩ phức tạp quá