Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2023
Thời gian: 180 phút
Ngày thi thứ nhất: 24/02/2023
Bài 1 (5 điểm)
Xét dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=\sqrt[3]{3a_{n+1}-a_n}$ và $0\le a_n\le 1$, với mọi $n\ge 1$.
a) Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy số $(b_n)$ xác định bởi $b_n=(1+2a_1)(1+2^2a_2)\cdots(1+2^na_n)$ với mọi $n\ge 1$. Chứng minh rằng dãy $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 (5 điểm)
Cho các số nguyên $a,\ b,\ c,\ \alpha,\ \beta$ và dãy số $(u_n)$ xác định bởi
\[u_1=\alpha,\ u_2=\beta,\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n+c\ \text{ với mọi }\ n\ge 1.\]
a) Chứng minh rằng nếu $a=3,\ b=-2,\ c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha;\beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:
i) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$;
ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho $2023$.
Bài 3 (5 điểm)
Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
\[\frac{1}{kab+c^2}+\frac{1}{kbc+a^2}+\frac{1}{kca+b^2}\ge \frac{k+3}{a^2+b^2+c^2}\]
đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a;\ b;\ c)$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$.
Bài 4 (5 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ có $DB=DC$ và nội tiếp một đường tròn. Gọi $M,\ N$ tương ứng là trung điểm của $AB,\ AC$ và $J,\ E,\ F$ tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với $BC,\ CA,\ AB$. Đường thẳng $MN$ cắt $JE,\ JF$ lần lượt tại $K,\ H$; $IJ$ cắt lại đường tròn $(IBC)$ tại $G$ và $DG$ cắt lại $(IBC)$ tại $T$.
a) Chứng minh rằng $JA$ đi qua trung điểm của $HK$ và vuông góc với $IT$.
b) Gọi $R,\ S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB,\ AC$. Lấy các điểm $P,\ Q$ lần lượt trên $IF,\ IE$ sao cho $KP$ và $HQ$ đều vuông góc với $MN$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $MP,\ NQ$ và $RS$ đồng quy.
Ngày thi thứ hai: 25/02/2023
Bài 5 (6 điểm)
Xét các hàm số $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ và $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0)=2022$ và
\[f(x+g(y))=xf(y)+(2023-y)f(x)+g(x)\ \text{ với mọi }\ x,y\in\mathbb{R}.\]
a) Chứng minh rằng $f$ là một toàn ánh và $g$ là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 6 (7 điểm)
Có $n\ge 2$ lớp học tổ chức $m\ge 1$ tổ ngoại khóa cho học sinh. Lớp nào cũng có học sinh tham gia ít nhất một tổ ngoại khóa. Mọi tổ ngoại khóa đều có đúng $a$ lớp có học sinh tham gia. Với hai tổ ngoại khóa bất kỳ, có không quá $b$ lớp có học sinh tham gia đồng thời cả hai tổ này.
a) Tính $m$ khi $n=8,\ a=4,\ b=1$.
b) Chứng minh rằng $n\ge 20$ khi $m=6,\ a=10,\ b=4$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ khi $m=20,\ a=4,\ b=1$.
Bài 7 (7 điểm)
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,\ CA,\ AB$ tương ứng tại $M,\ N,\ P$. Gọi $\Omega_A$ là một đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ tại một điểm $A'$ và cắt lại $AB,\ AC$ tương ứng tại $A_b,\ A_c$. Các đường tròn $\Omega_B,\ \Omega_C$ và các điểm $B',\ B_a,\ B_c,\ C',\ C_a,\ C_b$ được xác định một cách tương tự.
a) Chứng minh rằng $B_cC_b+C_aA_c+A_bB_a\ge NP+PM+MN$.
b) Xét trường hợp $A',\ B',\ C'$ tương ứng thuộc các đường thẳng $AM,\ BN,\ CP$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh tương ứng thuộc ba đường thẳng $A_bA_c,\ B_cB_a,\ C_aC_b$. Chứng minh rằng $OH$ song song với $IK$.
Nguồn: VnExpress (ngày 1, ngày 2)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-02-2023 - 21:02