Cho $x,y,z\in \mathbb{N}^{*}$ thỏa $x^{3}+y^{3}=2z^{3}$
Tìm $x,y,z$ sao cho $x+y+4z$ là tích 2 số nguyên tố?
Cho $x,y,z\in \mathbb{N}^{*}$ thỏa $x^{3}+y^{3}=2z^{3}$
Tìm $x,y,z$ sao cho $x+y+4z$ là tích 2 số nguyên tố?
Đặt $P=x+y+4z$.
Nếu $x$ là số chẵn thì $y^3=2z^3-x^3$ cũng là một số chẵn, hay $y$ chẵn.
Tương tự, nếu $x$ lẻ thì $y$ cũng lẻ.
Vậy, $x$ và $y$ cùng tính chẵn lẻ, hay $x+y$ chẵn.
Suy ra $P=x+y+4z$ là số chẵn, nên $2|P \quad (1)$.
Mặt khác, theo định lý Fermat nhỏ thì $t^3 \equiv t \quad (mod 3)$
Nên $P=x+y+4z=(x+y+z)+3z \equiv (x^3+y^3+z^3)+3z \quad (mod 3)$
Thế $x^3+y^3=2z^3$ vào ta có:
$P \equiv (3z^3)+3z \equiv 0 \quad (mod 3)$
Suy ra $3|P \quad (2)$.
Do $(2,3)=1$ nên từ $(1)$ và $(2)$, có: $6|P$.
Mà $P$ là tích của hai số nguyên tố, nên $P$ chỉ có thể bằng $6$.
Trường hợp này chỉ xảy ra khi $x=y=z=1$.
Vậy $x=y=z=1$ là nghiệm duy nhất cần tìm.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh