Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{3}+y^{3}=2z^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Cho $x,y,z\in \mathbb{N}^{*}$ thỏa $x^{3}+y^{3}=2z^{3}$

Tìm $x,y,z$ sao cho $x+y+4z$ là tích 2 số nguyên tố?



#2
Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đặt $P=x+y+4z$.

Nếu $x$ là số chẵn thì $y^3=2z^3-x^3$ cũng là một số chẵn, hay $y$ chẵn.

Tương tự, nếu $x$ lẻ thì $y$ cũng lẻ.

Vậy, $x$ và $y$ cùng tính chẵn lẻ, hay $x+y$ chẵn.

Suy ra $P=x+y+4z$ là số chẵn, nên $2|P \quad (1)$.

 

Mặt khác, theo định lý Fermat nhỏ thì $t^3 \equiv t \quad (mod 3)$

Nên $P=x+y+4z=(x+y+z)+3z \equiv (x^3+y^3+z^3)+3z \quad (mod 3)$

Thế $x^3+y^3=2z^3$ vào ta có:

$P \equiv (3z^3)+3z \equiv 0 \quad (mod 3)$

Suy ra $3|P \quad (2)$.

 

Do $(2,3)=1$ nên từ $(1)$ và $(2)$, có: $6|P$.

Mà $P$ là tích của hai số nguyên tố, nên $P$ chỉ có thể bằng $6$.

Trường hợp này chỉ xảy ra khi $x=y=z=1$.

Vậy $x=y=z=1$ là nghiệm duy nhất cần tìm.

 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh