Chủ đề này có 1 trả lời

[Ruka]

Cho dãy số $(x_n)$ : $\begin{cases} x_1 = 3\\ x_{n+1} = \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 4}{x_n^2 - x_n + 6} \end{cases}$

 

Đặt $y_n = \dfrac{1}{x_1^2 + 4} +  \dfrac{1}{x_2^2 + 4} + .... +  \dfrac{1}{x_n^2 + 4} $.

 

Tính $\displaystyle\lim y_n$

[Ruka]

Cho dãy số $(x_n)$ : $\begin{cases} x_1 = 3\\ x_{n+1} = \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 4}{x_n^2 - x_n + 6} \end{cases}$

 

Đặt $y_n = \dfrac{1}{x_1^2 + 4} +  \dfrac{1}{x_2^2 + 4} + .... +  \dfrac{1}{x_n^2 + 4} $.

 

Tính $\displaystyle\lim y_n$

 

Ko biết là đề sai hay không. Nhưng e sửa lại đề như này $\begin{cases} x_1 = 3\\ x_{n+1} = \dfrac{x_n^3 + 2x_n + 4}{x_n^2 - x_n + 6} \end{cases}$

 

Dễ dàng CM được bằng qui nạp rằng $x_n > 2$ với mọi $n$

Xét hiệu $x_{n+1} - x_n = \dfrac{x_n^3 + 2x_n + 4}{x_n^2 - x_n + 6} - x_n = \dfrac{x_n^2 - 4x_n + 4}{x_n^2 - x_n + 6} = \dfrac{(x_n-2)^2}{(x_n -\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{11}{2}} > 0$ (do $x_n > 2$)

Từ đó suy ra $x_n$ tăng ngặt. Giả sử dãy $x_n$ bị chặn trên, theo đ/lý Weierstrass/giới hạn thì dãy $x_n$ có giới hạn.

Đặt $\displaystyle\lim x_n = a(a > 3)$. Giải PT giới hạn ta được $a = 2(\text{Exterminated})$

Suy ra $\displaystyle\lim x_n = +\infty$

Từ hệ thức truy hồi ta suy ra

$x_{n+1} - 2 = \dfrac{x_n^3 - 2x_n^2 + 4x_n - 8}{x_n^2 - x_n + 6} = \dfrac{(x_n^2+4)(x_n-2)}{x_n^2 - x_n + 6}$

$\rightarrow \dfrac{1}{x_{n+1} - 2} = \dfrac{(x_n^2 + 4) - (x_n - 2)}{(x_n^2+4)(x_n-2)} =  \dfrac{1}{x_n - 2} - \dfrac{1}{x_n^2 + 4} $

$\to \dfrac{1}{x_n^2 + 4} = \dfrac{1}{x_n - 2} - \dfrac{1}{x_{n+1} - 2}$

 

... 

 

Ta suy ra được $\lim y_n = 1$