Chủ đề này có 2 trả lời

[Leafer]

Cho 3 số thực dương a,b,c sao cho $a+b+c\le\frac{3}{2}$

Tìm GTNN của biểu thức

$a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

[Technology]

Với điểm rơi $ a=b=c=\dfrac{1}{2} \\
a^2 \geq a-\frac{1}{4} \\
b^2 \geq b-\frac{1}{4} \\
c^2 \geq c-\frac{1}{4} \\
=> \sum a^2 + \sum \dfrac{1}{a} \geq \sum a +sum \frac{1}{a} -\dfrac{3}{4} \\ = \sum 4a + \sum \dfrac{1}{a} -\sum 3a \\
\geq ..... 12-3.\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4} \\
\geq \dfrac{27}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Technology: 14-08-2020 - 15:01

[hanguyen445]

Cho 3 số thực dương a,b,c sao cho $a+b+c\le\frac{3}{2}$

Tìm GTNN của biểu thức

$P=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta có

$$a^2+\dfrac{1}{8a}+\dfrac{1}{8a}\ge \dfrac{3}{4}$$

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}\ge\dfrac{9}{3/2}=6$$

Do đó ta có

$$P=(a^2+\dfrac{1}{4a})+(b^2+\dfrac{1}{4b})+(\dfrac{1}{4c}+c^2)+\dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$$

$$\ge 3.\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}.6=\dfrac{27}{4}$$