Đến nội dung

Hình ảnh

$\begin{cases} x_1 = 3\\x_{n+1} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n \end{cases}$

- - - - -

Lời giải Ruka, 10-03-2023 - 21:21

Dễ dàng CM được bằng qui nạp $x_n > 0$

Xét hiệu $2(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n = \dfrac{5x_n}{ \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n } > 0$ (do $x_n > 0$)

CM $\lim x_n = +\infty$

Từ hệ thức truy hồi ta có:

$2x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n$

$\to 2x_{n+1} - x_n = \sqrt{x_n^2+5x_n}$

$\to 4x_{n+1}^2 - 4x_{n+1}x_n + x_n^2 = x_n^2 + 5x_n$

$\to 4x_{n+1}(x_{n+1} - x_n) = 5x_n$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n} = \dfrac{5}{x_{n+1}}$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n . x_{n+1}} = \dfrac{5}{x_{n+1}^2}$

$\to \dfrac{4}{5}(\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x_{n+1}}) = \dfrac{1}{x_{n+1}^2}$

 

 

 

 

Từ đó $\lim v_n = \lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_n^2} = \dfrac{4}{15}$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Cho dãy số $\begin{cases} x_1 = 3\\x_{n+1} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n) \end{cases}$

Đặt $v_n = \dfrac{1}{u_1^2} + \dfrac{1}{u_2^2}  + ...  + \dfrac{1}{u_n^2}$

Tính $\lim v_n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 10-03-2023 - 20:39


#2
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
✓  Lời giải

Dễ dàng CM được bằng qui nạp $x_n > 0$

Xét hiệu $2(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n = \dfrac{5x_n}{ \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n } > 0$ (do $x_n > 0$)

CM $\lim x_n = +\infty$

Từ hệ thức truy hồi ta có:

$2x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n$

$\to 2x_{n+1} - x_n = \sqrt{x_n^2+5x_n}$

$\to 4x_{n+1}^2 - 4x_{n+1}x_n + x_n^2 = x_n^2 + 5x_n$

$\to 4x_{n+1}(x_{n+1} - x_n) = 5x_n$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n} = \dfrac{5}{x_{n+1}}$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n . x_{n+1}} = \dfrac{5}{x_{n+1}^2}$

$\to \dfrac{4}{5}(\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x_{n+1}}) = \dfrac{1}{x_{n+1}^2}$

 

 

 

 

Từ đó $\lim v_n = \lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_n^2} = \dfrac{4}{15}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 10-03-2023 - 21:27





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh