Chủ đề này có 4 trả lời

[Leonguyen]

Cho $\bigtriangleup ABC$ có $P$ là điểm nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là giao điểm của $AP,BP,CP$ với cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là giao điểm của $BC$ với $B_1C_1$, $CA$ với $C_1A_1$ và $AB$ với $A_1B_1$. Chứng minh $X,Y,Z$ thẳng hàng.

[Leonguyen]

Áp dụng định lý $\text{Ceva}$ cho $\bigtriangleup ABC$ có $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy thu được $\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{B_1C}{B_1A}\cdot\frac{C_1A}{C_1B} =1$.

Áp dụng định lý $\text{Menelaus}$ cho $\bigtriangleup ABC$ có $B_1,C_1,X$ thẳng hàng thu được $\frac{B_1C}{B_1A}\cdot \frac{C_1A}{C_1B}\cdot\frac{XB}{XC} =1$.  (1)

Chứng minh tương tự ta có $\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{C_1A}{C_1B}\cdot\frac{YC}{YA} =1$   (2),  $\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{B_1C}{B_1A}\cdot\frac{ZA}{ZB} =1$   (3).

Nhân (1), (2), (3) vế theo vế:

$\frac{XB}{XC}\cdot\frac{YC}{YA}\cdot\frac{ZA}{ZB}\cdot\left(\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{B_1C}{B_1A}\cdot\frac{C_1A}{C_1B} \right)^2=1 \Rightarrow \frac{XB}{XC}\cdot\frac{YC}{YA}\cdot\frac{ZA}{ZB}=1.$

Theo định lý $\text{Menelaus}$ ta có $X,Y,Z$ thẳng hàng.

P/s: Thành quả trong giờ văn  , với bài này vẽ hình khó thật.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 05-04-2023 - 17:33

[perfectstrong]

Đây chính là định lý Désargues https://en.wikipedia...rgues's_theorem

Nhân tiện, em hãy thử chứng minh chiều đảo luôn

Định lý

Nếu $X,Y,Z$ thẳng hàng thì $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.

[Leonguyen]

Cũng là ý tưởng như phía trên thôi 

Áp dụng định lý $\text{Menelaus}$ cho $\bigtriangleup ABC$ có $B_1,C_1,X$ thẳng hàng thu được $\frac{B_1C}{B_1A}\cdot \frac{C_1A}{C_1B}\cdot\frac{XB}{XC} =1$.  (1)

Chứng minh tương tự ta có $\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{C_1A}{C_1B}\cdot\frac{YC}{YA} =1$   (2),  $\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{B_1C}{B_1A}\cdot\frac{ZA}{ZB} =1$   (3).

Nhân (1), (2), (3) vế theo vế:

$\frac{XB}{XC}\cdot\frac{YC}{YA}\cdot\frac{ZA}{ZB}\cdot\left(\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{B_1C}{B_1A}\cdot\frac{C_1A}{C_1B} \right)^2=1.$

Mặt khác $\frac{XB}{XC}\cdot\frac{YC}{YA}\cdot\frac{ZA}{ZB}=1$ (do $\bigtriangleup ABC$ có $X,Y,Z$ thẳng hàng) nên suy ra được $\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{B_1C}{B_1A}\cdot\frac{C_1A}{C_1B}=1$.

Theo định lý $\text{Ceva}$ ta có $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.

P/s: Em cảm ơn anh @perfectstrong nhưng em dốt tiếng Anh lắm anh ạ 

[perfectstrong]

Giờ anh mới để ý là cái này trong THCS Biết được là tốt rồi em.

Định lý trên được trình bày đầy đủ trong sách Tài liệu chuyên toán 10 ấy