Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyetnguyet829]

Cho $a, b, c$ thỏa mãn $0\leq a, b, c \leq 1$. Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 \leq a^2b + b^2c + c^2a + 1$

[thanhng2k7]

Do $0\leq a,b,c\leq 1$ nên ta có $0\leq a^2\leq a\leq 1 , 0\leq b^2\leq b\leq 1 , 0\leq c^2\leq c\leq 1 ,$

Nên $0\leq (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=1+\sum_{a,b,c}a^2b^2-\sum_{a,b,c}a^2-a^2b^2c^2$

$\Rightarrow \sum_{a,b,c}a^2 \leq 1+\sum_{a,b,c}a^2b^2\leq 1+\sum_{a,b,c}a^2b$

Dấu bằng xảy ra khi $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=0 , a^2b^2c^2=0, a^2=a , b^2=b , c^2=c$ 

Hay dấu bằng xảy ra khi hai trong ba số đã cho bằng $0$ , một số bằng $1$ hoặc hai trong ba số trên bằng $1$ , số còn lại bằng $0$