Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

TIÊU THỤ BÀI GIẢNG GGTH 2020

ggth dãy số phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 15-08-2020 - 16:05

Phần dãy số - phương trình hàm

Hình gửi kèm

  • tiêu thụ bài giảng trường hè 2020.jpg

"After all this time?"

"Always.."      


#2 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 15-08-2020 - 16:35

Bài 4. 

Dễ thấy $(u_n)$ là dãy số nguyên dương.

Ta chứng minh rằng tồn tại $k$  để $u_k =2$ hoặc $u_k=3$. Khi đó $u_{k+1}=u_k-\left \lfloor \frac{u_k}{2} \right \rfloor+1= 2- \left \lfloor \frac{2}{2} \right \rfloor +1=2$ hoặc $u_{k+1}=u_k-\left \lfloor \frac{u_k}{2} \right \rfloor+1= 3- \left \lfloor \frac{3}{2} \right \rfloor +1=3$, tức là kể từ $k$ thì $u_n=2$ hoặc $u_n=3$.

Giả sử không tồn tại $k$ để $u_k=2$ hoặc $u_k=3$, khi đó cũng không tồn tại $k$ để $u_k=1$, vì nếu tồn tại $k$ thì $u_{k+1}=2$, mâu thuẫn.

Do đó $u_n >3$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Suy ra $u_n$ bị chặn dưới. Khi đó tồn tại $m$ sao cho $u_m=\min \{u_n\}$. 

Ta có: $u_{m+1}-u_{m}= 1- \left \lfloor \frac{u_{m}}{2} \right \rfloor \geq 0$ (Do cách chọn $m$). Từ đó suy ra $\left \lfloor \frac{u_{m}}{2} \right \rfloor \leq 1$, hay $u_m=1$,$u_m=2$ hoặc $u_m=3$ (Mâu thuẫn). Vậy $(u_n)$ là dãy dừng. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 15-08-2020 - 16:37

"After all this time?"

"Always.."      


#3 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-08-2020 - 21:38

Bài 1. Ta có $$f(x)f(1+y)=f(xf(y))+f(x), \forall x,y\in \mathbb(Q) (1)$$

Trong (1):

 Cho x=0, y=-1 ta có $f^2(0)=2f(0)\implies f(0)=0 , f(0)=2$

TH1. Nếu f(0)=2

Trong (1) cho x=0 thì ta có $f(1+y)=2$ với mọi y hữu tỷ. Do đó $f(x)=2\forall x\in \mathbb(Q)$. Thử lại hiển nhiên thỏa mãn.

TH2. Nếu f(0)=0

Trong (1) cho y=0 thì ta có $f(x)f(1)=f(x)\forall x\in \mathbb{Q}$ (1-1)

(a) Nếu $f(x)=0\forall x\in Q$ thử lại hiển nhiên thỏa mãn.

( b) Nếu $f(x)\ne 0$. Tức tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)\ne 0$. Trong (1-1) cho $x=x_0$ thì f(1)=1.

Trong (1) cho x=1 thì ta có $f(y+1)=f(f(y))+1$  (1-2)

Trong (1-2) cho y=1 ta có $f(2)=2$; cho y=2 ta có $f(3)=3$;…; bang qui nạp ta có $f(n)=n\forall n\in\mathbb{N}$.

Thay (1-2) trở lại (1) ta có $f(x)f(f(y))=f(xf(y))$ (1-3)

Trong (1-3) cho y=n ta có $f(nx)=nf(x), \forall x\in\mathbb{Q}$ (1-4).

Trong (1-4) cho x=1/n ta có $f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n}, \forall n\in\mathbb{N^*}$.

Trong (1-4) cho x=-1/n thì ta có $f(-1\n)=\dfrac{1}{n}f(-1)$

Trong (1-4) cho $x=\dfrac{1}{m}, m>0;n\in Z$ thì ta có $f(\dfrac{n}{m})=\begin{cases} nf(1/m)=n/m \text{nếu} n>0\\\dfrac{-n}{m}f(-1)\text{ nếu } n<0\end{cases} $

Như vậy với $x\in Q$ thì $f(x)=\begin{cases} x, x\in Q^+\\ax, x\in Q^- \end{cases}$

Trong (1) cho $x=y\in Q$ và $y+1<0$ khi đó ta có:

$$a^2x(x+1)=a^2x^2+ax\leftrightarrow a^2x=ax, x=1\implies a=0, a=1$$

Khi đó f(x)=0 hoặc f(x)=x với $x\in Q^-$.

Nếu f(x)=0 với $x\in Q^-$, trong (1) cho y=-2, x=1 thì ta có f(1)=0 mâu thẫn f(1)=1. 

Do đó f(x)=x, $\forall x\in Q$. Thử lại hiển nhiên đúng.

Vậy hàm số cần tìm là: $f(x)=0;f(x)=2; f(x)=x$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 15-08-2020 - 22:10

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ggth, dãy số, phương trình hàm

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh