Chủ đề này có 2 trả lời

[Nobodyv3]

Tính :
$$\begin {align*}
&a)\,S_0=\binom {2023}{0}+\binom {2023}{3}+...+\binom {2023}{2022}\\
&b)\,S_1=\binom {2023}{1}+\binom {2023}{4}+...+\binom {2023}{2023}\\
&c)\,S_2=\binom {2023}{2}+\binom {2023}{5}+...+\binom {2023}{2021}
\end {align*}$$

[chanhquocnghiem]

Tính :
$$\begin {align*}
&a)\,S_0=\binom {2023}{0}+\binom {2023}{3}+...+\binom {2023}{2022}\\
&b)\,S_1=\binom {2023}{1}+\binom {2023}{4}+...+\binom {2023}{2023}\\
&c)\,S_2=\binom {2023}{2}+\binom {2023}{5}+...+\binom {2023}{2021}
\end {align*}$$

Đặt $f(x)=(1+x)^{2023}$

Ta biết $1$ có ba căn bậc ba là $1$, $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i$ và $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i$

$f(1)=2^{2023}$

$f\left ( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )=\left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )^{2023}=\left [ \left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )^3 \right ]^{674}\left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ i$

$f\left ( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )=\left ( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )^{2023}=\left [ \left ( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )^3 \right ]^{674}\left ( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i \right )=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ i$

$\Rightarrow S_0=S_1=\frac{f(1)+f\left ( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right )+f\left ( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \right )}{3}=\frac{2^{2023}+1}{3}$

Và $S_2=2^{2023}-2\left ( \frac{2^{2023}+1}{3} \right )=\frac{2^{2023}-2}{3}$.
 

[Nobodyv3]

Cách khác ("căn cơ" hơn, nên hơi dài) :
Gọi $\omega $ là căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì ta có $\omega ^3=1$ và $1+\omega +\omega ^2=0$.
a) Đặt $f(x)=(1+x)^{2023}$
$$\begin {align*}
S_0&=\frac {f(1)+f(\omega) +f(\omega ^2)}{3}\\
&=\frac {(1+1)^{2023}+(1+\omega)^{2023}+(1+\omega ^2)^{2023} }{3}\\
&=\frac {2^{2023}+(-\omega^2)^{2023}+(-\omega)^{2023}}{3}\\
&=\frac {2^{2023}+(-1)^{2023}(\omega+\omega^2 )}{3}\\
&=\boldsymbol {\frac {2^{2023}+1}{3}}
\end{align*}$$b) Ta cần tính tổng hệ số của các hạng tử có bậc $1\!\!\!\!\! \pmod 3$ nên ta cộng 2 vào các bậc này (tức là nhân với $x^2$ ) thì lúc này ta tính tổng hệ số của các hạng tử có bậc $0\!\!\!\!\! \pmod 3$ , do đó, đặt $g(x)=x^2(1+x)^{2023}$ thì
$$\begin {align*}
g(1)&=2^{2023}\\
g(\omega) &= \omega ^2(1+\omega)^{2023} =\omega ^2(-\omega^2)^{2023}\\
&=-\omega\\
g(\omega ^2)&= \omega ^4(1+\omega^2)^{2023} =\omega (-\omega)^{2023}\\
&=-\omega^2\\
\Rightarrow S_1&=\frac {2^{2023}+ \omega ^2(1+\omega)^{2023}+ \omega (1+\omega^2)^{2023} }{3}\\
&=\frac {2^{2023}-(\omega+\omega^2)}{3}\\
&=\boldsymbol {\frac {2^{2023}+1}{3}}
\end{align*}$$c) Lập luận tương tự: ta cần tính tổng hệ số của các hạng tử có bậc $2\!\!\!\!\!\pmod 3$ nên ta cộng 1 vào các bậc này (tức là nhân với $x$ ), thì lúc này ta tính tổng hệ số của các hạng tử có bậc $0\!\!\!\!\! \pmod 3$, do đó, đặt $h(x)=x(1+x)^{2023}$ thì
$$\begin {align*}
h(1)&=2^{2023}\\
h(\omega) &= \omega (1+\omega)^{2023} =\omega (-\omega^2)^{2023}\\
&=-1\\
h(\omega ^2)&= \omega ^2(1+\omega^2)^{2023} =\omega^2 (-\omega)^{2023}\\
&=-1\\
\Rightarrow S_2&=\frac {2^{2023}+ \omega (1+\omega)^{2023}+ \omega ^2(1+\omega^2)^{2023} }{3}\\
&=\frac {2^{2023}+(-1-1)}{3}\\
&=\boldsymbol {\frac {2^{2023}-2}{3}}
\end{align*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-04-2023 - 07:05