Cho $a, b, c $ thỏa mãn $a + b + c = 3$ chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$
Chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 13-03-2023 - 21:42
bđt
#1
Đã gửi 13-03-2023 - 21:42
#2
Đã gửi 13-03-2023 - 21:48
Ta có $\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}= a-\frac{ab}{2}\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\geq a-\frac{ab}{2}$
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1+b^2}\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}\geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1+b^2}\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}\geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
- ThienDuc1101 và Leonguyen thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh