Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
Cho $a, b, c $ thỏa mãn $a + b + c = 3$ chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$

#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
Ta có $\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}= a-\frac{ab}{2}\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\geq a-\frac{ab}{2}$
Tương tự từ đó ta có 
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1+b^2}\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}\geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh