Cho $a, b, c $ thỏa mãn $a + b + c = 3$ chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$
Chứng minh $\frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 13-03-2023 - 21:42
bđt
#1
Đã gửi 13-03-2023 - 21:42
#2
Đã gửi 13-03-2023 - 21:48
Ta có $\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}= a-\frac{ab}{2}\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\geq a-\frac{ab}{2}$
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1+b^2}\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}\geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{1+b^2}\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}\geq 3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
- ThienDuc1101 và Leonguyen thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh