Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 13-03-2023 - 22:12
Chứng minh $\frac{a^2b}{1+a^2} + \frac{b^2c}{1+b^2} + \frac{c^2a}{1+c^2}\leq \frac{3}{2}$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 13-03-2023 - 22:10
bđt
#1
Đã gửi 13-03-2023 - 22:10
nguyetnguyet829
-
- Thành viên
-
- 78 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $a, b, c>0$ và $a+b+c=3$ chứng minh $\frac{a^2b}{1+a^2} + \frac{b^2c}{1+b^2} + \frac{c^2a}{1+c^2}\leq \frac{3}{2}$
#2
Đã gửi 13-03-2023 - 22:27
thanhng2k7
-
- Thành viên
-
- 129 Bài viết
Trung sĩ
$\frac{a^2b}{1+a^2}\leq \frac{a^2b}{2a}=\frac{ab}{2}$
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{cyc}\frac{a^2b}{1+a^2}\leq \sum_{cyc}\frac{ab}{2}=\sum_{cyc}\frac{3ab}{6}\leq \frac{(a+b+c)^2}{6}= \frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
Tương tự từ đó ta có
$\sum_{cyc}\frac{a^2b}{1+a^2}\leq \sum_{cyc}\frac{ab}{2}=\sum_{cyc}\frac{3ab}{6}\leq \frac{(a+b+c)^2}{6}= \frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$.
- ThienDuc1101 yêu thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học 
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
Solved
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
