Cho $a, b, c >0$ và $a+b+c+ab+ac+bc=6abc$ chứng minh rằng $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3$
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 - 13:09
bđt
#1
Đã gửi 16-03-2023 - 13:09
#2
Đã gửi 16-03-2023 - 20:05
Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z,$ khi đó:
$xy+yz+zx+x+y+z=6$
Ta cần chứng minh $x^2+y^2+z^2\ge 3(i)$
Ta có $6=xy+yz+zx+x+y+z\le\frac{\left ( x+y+z \right )^2}{3}+x+y+z \Leftrightarrow x+y+z\ge3$
$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-2\left [ 6-(x+y+z) \right ]$
$=(x+y+z)^2+2(x+y+z)-12\ge3$
Do đó $x^2+y^2+z^2\ge3$ hay $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3$
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baokst: 16-03-2023 - 20:07
- nguyetnguyet829 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh