Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Cho $a, b, c >0$ và $a+b+c+ab+ac+bc=6abc$ chứng minh rằng $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3$



#2
Baokst

Baokst

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z,$ khi đó:

$xy+yz+zx+x+y+z=6$

Ta cần chứng minh $x^2+y^2+z^2\ge 3(i)$

Ta có $6=xy+yz+zx+x+y+z\le\frac{\left ( x+y+z \right )^2}{3}+x+y+z \Leftrightarrow x+y+z\ge3$

          $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-2\left [ 6-(x+y+z) \right ]$

                                $=(x+y+z)^2+2(x+y+z)-12\ge3$

Do đó $x^2+y^2+z^2\ge3$ hay $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3$

Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baokst: 16-03-2023 - 20:07






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh