Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(b+a)^3}}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Do Hong Quan

Do Hong Quan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 21-08-2020 - 20:37

Cho a,b,c dương: CMR:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} + \sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}} + \sqrt{\frac{c^3}{c^3+(b+a)^3}}\geq 1$



#2 d Alembert

d Alembert

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Đã gửi 21-08-2020 - 21:09

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{(b+c)^3}{a^3}}}\geq \frac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{2(\sum_{cyc}a^2)}=1$


Đời sẽ dịu dàng hơn biết mấy khi con người biết đặt mình vào vị trí của nhau.

 


#3 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 21-08-2020 - 21:13

Ta sẽ CM $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Thật vậy ta có $$\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}-\frac{a^4}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{a^3[(b+c)^2(2a-b-c)^2+(b-c)^2(4a^2+3b^2+2bc+3c^2)]}{4[a^3+(b+c)^3](a^2+b^2+c^2)^2}\ge 0$$

Lập thêm 2 bđt tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 21-08-2020 - 21:17


#4 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 22-08-2020 - 09:14

Bạn tham khảo nhé:

Ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{(1+\frac{b+c}{a})(1-\frac{b+c}{a}+(\frac{b+c}{a})^2)}}\geqslant \sum \sqrt{\frac{4}{(1+\frac{b+c}{a}+1-\frac{b+c}{a}+(\frac{b+c}{a})^2)^2}}= \sum \frac{2}{2+(\frac{b+c}{a})^2}= \sum \frac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}\geqslant \sum \frac{2a^2}{2a^2+2b^2+2c^2}=\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.$\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThIsMe: 22-08-2020 - 09:14

#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#5 Pob

Pob

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{Toán-1 KHTN }}$
  • Sở thích:→★๖ۣۜMaths★←

Đã gửi 22-08-2020 - 09:28

Bạn tham khảo nhé:

Ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{(1+\frac{b+c}{a})(1-\frac{b+c}{a}+(\frac{b+c}{a})^2)}}\geqslant \sum \sqrt{\frac{4}{(1+\frac{b+c}{a}+1-\frac{b+c}{a}+(\frac{b+c}{a})^2)^2}}= \sum \frac{2}{2+(\frac{b+c}{a})^2}= \sum \frac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}\geqslant \sum \frac{2a^2}{2a^2+2b^2+2c^2}=\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.$\square$

Ủa giống lời giải này có rồi mà của bạn 

d Alembert

 

$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{(b+c)^3}{a^3}}}\geq \frac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{2(\sum_{cyc}a^2)}=1$


:wub: HÀNH VI TẠO THÓI QUEN :wub: 

:closedeyes: THÓI QUEN TẠO NHÂN CÁCH :icon10: 


#6 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 22-08-2020 - 09:41

 

Ủa giống lời giải này có rồi mà của bạn 

d Alembert

 

Nhưng bạn ấy trình bày thế khó hiểu lắm ạ!!


  • Pob yêu thích

#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#7 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 426 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-08-2020 - 14:57

Cho a,b,c dương: CMR:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} + \sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}} + \sqrt{\frac{c^3}{c^3+(b+a)^3}}\geq 1$

Với bài này$,$ việc sử dụng $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$ là nhanh nhất rồi. Nhưng với sự tìm tòi ta cùng đi tìm lời giải khác dù không đẹp bằng.

Theo Holder$,$ ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn$:$ $${\frac { \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) ^{3}}{ \left( {a}^{3}+ \left( b+c \right) ^{3} \right) {a}^{3}+ \left( {b}^{3}+ \left( c+a \right) ^{3} \right) {b}^{3}+ \left( {c}^{3}+ \left( a+b \right) ^{3} \right) {c}^{3}}} \geqslant 1$$

Hay là $$\frac{1}{10}\sum {a}^{2} \left( 2\,{a}^{2}+19\,{c}^{2} \right)  \left( b-c \right) ^{2}+\frac{1}{30}\sum c \left( 8\,c{b}^{2}+19\,c{a}^{2}+6\,{b}^{2}a+6\,a cb \right)  \left(b+c-2a \right) ^{2}\geqslant 0$$

SOS xấu


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh