Chủ đề này có 2 trả lời

[thinhisthenumber1]

1. Cho $\alpha$ là một góc cho trước. Tìm các giới hạn sau:

$L=\lim_{n \to +\infty }(sin^{3}\frac{\alpha }{3}+3sin^{3}\frac{\alpha }{3^{2}}+3^{2}sin^{3}\frac{\alpha }{3^{3}}+...+3^{n-1}sin^{3}\frac{\alpha }{3^{n}})$

2.Cho $a,b$ là những số cho trước. Tìm các giới hạn sau:

$L=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(cosax)}{ln(cosbx)}$

 

[hxthanh]

$\boxed 1\;$Áp dụng: $\boxed{\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}}$
Ta có: $\;\;3^{k-1}\sin^3\frac{\alpha}{3^k}=\frac{1}{4}\left(3^{k}\sin\frac{\alpha}{3^k}-3^{k-1}\sin\frac{\alpha}{3^{k-1}}\right)$
$\Rightarrow \sum_{k=1}^n3^{k-1}\sin^3\frac{\alpha}{3^k}=\frac{1}{4}\left(3^n\sin\frac{\alpha}{3^n}-\sin\alpha\right)$
$\Rightarrow L=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{4}\left(3^n\sin\frac{\alpha}{3^n}-\sin\alpha\right)=\frac{\alpha-\sin\alpha}{4}$
$\boxed 2\;$ Áp dụng L’Hospital và $\tan x \sim x$
Ta có: $L=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(\cos ax)}{\ln(\cos bx)}=\lim_{x\to 0}\frac{-a\tan ax}{-b\tan bx}=\frac{a^2}{b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-04-2023 - 10:51

[Thegooobs]

1. Cho $\alpha$ là một góc cho trước. Tìm các giới hạn sau:

$L=\lim_{n \to +\infty }(sin^{3}\frac{\alpha }{3}+3sin^{3}\frac{\alpha }{3^{2}}+3^{2}sin^{3}\frac{\alpha }{3^{3}}+...+3^{n-1}sin^{3}\frac{\alpha }{3^{n}})$

2.Cho $a,b$ là những số cho trước. Tìm các giới hạn sau:

$L=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(cosax)}{ln(cosbx)}$

Câu 2: Xét $a,b \ne 0$

$\displaystyle L=\lim_{x\to 0} \frac{ln(cosax)}{ln(cosbx)}=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1+cosax-1)}{ln(1+cosbx-1)}$

Khi $x \rightarrow 0$ thì  $cosax -1 \rightarrow 0$ nên $ln(1+cosax-1) \sim cosax-1$, khi $x \rightarrow 0$

Tương tự Khi $x \rightarrow 0$ thì  $cosbx -1 \rightarrow 0$ nên $ln(1+cosbx-1) \sim cosbx-1$, khi $x \rightarrow 0$

$\Rightarrow L=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1+cosax-1)}{ln(1+cosbx-1)}= \lim_{x \to 0 }\frac{cosax-1}{cosbx-1}=\lim_{x \to 0 }\frac{-(cosax-1)}{-(cosbx-1)}=\lim_{x \to 0 }\frac{1-cosax}{1-cosbx}$

Khi $x \rightarrow 0$ thì $ax \rightarrow 0$ nên $ 1-cosax \sim \dfrac{1}{2}(ax)^2$, khi $x \rightarrow 0$

Khi $x \rightarrow 0$ thì $bx \rightarrow 0$ nên $ 1-cosbx \sim \dfrac{1}{2}(bx)^2$, khi $x \rightarrow 0$

Nên $L=\lim_{x \to 0 }\dfrac{1/2(ax)^2}{1/2(bx)^2}=\lim_{x \to 0 }\dfrac{a^2x^2}{b^2x^2}=\dfrac{a^2}{b^2}.$

Với $a=0, b\ne 0$ thì $L=0$ còn với $b=0$ thì $L $ không tồn tại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 22-04-2023 - 10:59