Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC).


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Duc91

Duc91

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), có M là trung điểm BC,BE,CF là các đường cao. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N,P lần luọt là giao điểm của BS với EF, AS với (O) (P khác A). Chứng minh rằng:

a) MN vuông góc với BF.

b) AB.CP=AC.BP.

c) $\angle CAM = \angle BAP.$



#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

a) Tứ giác $BFEC$ nội tiếp, lại có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ là tâm $(BFEC)$, suy ra $MF=MB$

Xét $\bigtriangleup BNF$ có $\angle NBF=\angle ACB=\angle AFE=\angle NFB$ nên là tam giác cân, suy ra $NF=FB$.

Vậy $MN$ là đường trung trực của $BF$, suy ra $MN\perp BF$.

b) Chứng minh được $\bigtriangleup SBP\sim\bigtriangleup SAB (c.g.c)\Rightarrow \frac{BP}{AB}=\frac{SP}{SB}$. Tương tự $\frac{CP}{AC}=\frac{SP}{SC}$. Mà $SB=SC$ nên $\frac{BP}{AB}=\frac{CP}{AC}\Rightarrow AB\cdot CP=AC\cdot BP.$

c) Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $K$. Gọi $M'$ là giao điểm của $MP$ và $BC$. Theo cách gọi đó ta có $AB=CK$, $BK=AC$.

Ta có

$\bigtriangleup ABP\sim\bigtriangleup PM'C (\angle ABP=\angle PM'C,\angle APB=\angle CPM')$ $\Rightarrow \frac{AB}{PM'}=\frac{BP}{CM'}$ $\Rightarrow CM'=\frac{BP}{AB}\cdot PM'$. 

$\bigtriangleup PCA \sim\bigtriangleup PM'B (\angle PAC=\angle PBM',\angle BPM'=\angle APC)$ $\Rightarrow \frac{PC}{PM'}=\frac{CA}{M'B}$ $\Rightarrow BM'=\frac{CP}{AC}\cdot PM'$. 

Lại có $\frac{BP}{AB}=\frac{CP}{AC}$ nên $BM'=M'C$, suy ra $M\equiv M'$; $P,K,M$ thẳng hàng.

Ta có $\angle MAC=\angle MAK-\angle CAK=\angle AKM-\angle ACB=\frac{1}{2}(\text{sđ}\stackrel\frown{AP}-\text{sđ}\stackrel\frown{AP})=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel\frown{BP}=\angle BAP$.

Vậy ta có đpcm.

Câu c) chứng minh hơi dài dòng, mong được nhìn thấy cách giải nào ngắn hơn  :lol:

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-04-23 082123.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 23-04-2023 - 08:25

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), có M là trung điểm BC,BE,CF là các đường cao. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N,P lần luọt là giao điểm của BS với EF, AS với (O) (P khác A). Chứng minh rằng:

a) MN vuông góc với BF.

b) AB.CP=AC.BP.

c) $\angle CAM = \angle BAP.$

Lời giải. Câu c) là một tính chất rất đẹp của hai tiếp tuyến cắt nhau! Có thể chứng minh không cần vẽ thêm hình phụ như sau: 

 

Trước hết, để ý rằng OS vuông góc với BC tại M. Ta có một tính chất cơ bản: $SM.SO=SP.SA=SB^2$. Do đó tam giác SPM đồng dạng với tam giác SOA. Suy ra $\angle SPM=\angle SPA$, và ta có tứ giác AOMP nội tiếp đường tròn. 

Bây giờ ta đi chứng minh $\angle AMC=\angle ABP$. Thật vậy, ta có $\angle ABP=180^{\circ}-\angle ACP=180^{\circ}-\frac{\angle AOP}{2}.$ Chú ý rằng tam giác AOP cân tại O nên $\angle APO=90^{\circ}- \frac{\angle AOP}{2}$. Vậy $\angle ABP=90^{\circ}+\angle APO$. Ta lại có OM vuông góc BC và AB<AC nên $\angle AMC=90^{\circ}+\angle APM$. Mà $\angle APM=\angle APO$ do tứ giác AOMP nội tiếp, do đó $\angle AMC=\angle ABP$. 

Cuối cùng, dễ thấy tam giác ABP đồng dạng với tam giác AMC (g.g) nên ta có ngay $\angle BAP=\angle CAM$. Đây là điều phải chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-04-2023 - 08:58

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Lời giải. Câu c) là một tính chất rất đẹp của hai tiếp tuyến cắt nhau! Có thể chứng minh không cần vẽ thêm hình phụ như sau: 

 

Trước hết, để ý rằng OS vuông góc với BC tại M. Ta có một tính chất cơ bản: $SM.SO=SP.SA=SB^2$. Do đó tam giác SPM đồng dạng với tam giác SOA. Suy ra $\angle SPM=\angle SPA$, và ta có tứ giác AOMP nội tiếp đường tròn. 

Bây giờ ta đi chứng minh $\angle AMC=\angle ABP$. Thật vậy, ta có $\angle ABP=180^{\circ}-\angle ACP=180^{\circ}-\frac{\angle AOP}{2}.$ Chú ý rằng tam giác AOP cân tại O nên $\angle APO=90^{\circ}- \frac{\angle AOP}{2}$. Vậy $\angle ABP=90^{\circ}+\angle APO$. Ta lại có OM vuông góc BC và AB<AC nên $\angle AMC=90^{\circ}+\angle APM$. Mà $\angle APM=\angle APO$ do tứ giác AOMP nội tiếp, do đó $\angle AMC=\angle ABP$. 

Cuối cùng, dễ thấy tam giác ABP đồng dạng với tam giác AMC (g.g) nên ta có ngay $\angle BAP=\angle CAM$. Đây là điều phải chứng minh. 

hình như ta có thể chứng minh AP là đường đối trung của tam giác ABC nên có ngay đpcm


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh