Chủ đề này có 8 trả lời

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu cách bỏ 20 viên bi giống nhau vào 4 hộp giống nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi.

[thinhisthenumber1]

Có bao nhiêu cách bỏ 20 viên bi giống nhau vào 4 hộp giống nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi.Giả

Giả sử số bi lần lượt ở từng hộp là $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=16$ trong đó $x_{i}\geq 1$

Đặt $y_{i}=x_{i}-1$ ( i chạy từ 1 đến 4)

khi đó bài toán trở thành: Tìm bộ số $(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})$

thỏa mãn điều kiện $y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=16$

$=>$ có tất cả $\binom{3}{19}$ cách 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhisthenumber1: 23-04-2023 - 12:11

[hxthanh]

Có bao nhiêu cách bỏ 20 viên bi giống nhau vào 4 hộp giống nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi.

https://www.wolframa...20 size 4 parts

[Nobodyv3]

https://www.wolframa...20 size 4 parts

Thầy nhanh tay ghê!
Vâng, em sẽ tính tay bài này để so sánh với kết quả của thầy.

[Nobodyv3]

Gọi $x_i$ là số bi trong hộp $ i$. Vì các hộp không phân biệt nên ta có : $1\leq x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4$. Đặt :
$\begin{align*} z_1 &= x_1 \\ z_2 &= x_2 - x_1 \\ z_3 &= x_3 - x_2 \\ z_4 &= x_4 - x_3 \end{align*}$
Ta có phương trình $4z_1+3z_2+2z_3+z_4=20$ và hàm sinh :
$$f(z)=\frac{z^4}{1 - z^4} \cdot \frac{1}{1 - z^3} \cdot \frac{1}{1 - z^2} \cdot \frac{1}{1 - z} $$
Tách đa thức :
$$\begin{align*} f(z)&=\frac{z^4}{1 - z^4} \cdot \frac{1}{1 - z^3} \cdot \frac{1}{1 - z^2} \cdot \frac{1}{1 - z} \\ &= \frac{1}{24 (1 - z)^4} - \frac{1}{24 (1 - z)^3} - \frac{13}{288 (1 - z)^2} \\
&+ \frac{1}{32 (1 + z)^2} + \frac{1}{8 (1 + z^2)} - \frac{1}{9 (1 + z + z^2)}\\
\Rightarrow [z^{20}]f(z)&=\frac{1}{24} \binom{23}{3}
  - \frac{1}{24} \binom{22}{2}
- \frac{13}{288} \binom{21}{1}\\
& + \frac{1}{32} \binom{21}{1}
  + \frac{1}{8} \binom{20}{0}
  - \frac{1}{9} [z^{20}] (1 + z + z^2)^{-1}\\
&=\frac {21252-2772-273+189+36+0} {288}\\
&=\frac {18432}{288}=\boldsymbol {64}
\end{align*}$$

[hxthanh]

Đây là $f(n,4)$ một “bài toán cũ” trong topic này
Cần một điều gì đó mới mẻ hơn …
Xem thêm tại post 40

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 23-04-2023 - 19:31

[Nobodyv3]

Đây là $f(n,4)$ một “bài toán cũ” trong topic này
Cần một điều gì đó mới mẻ hơn …

Trước hết em xin lỗi thầy và mọi người.
Thật ra em không nhớ là những bài này đã được đề cập, là mới nhưng thật ra đã cũ trên forum này rồi.
Ok, từ đây em sẽ hạn chế post bài vì phải tốn thời gian để kiểm tra vấn đề cũ hay mới, mà theo thầy thì phải mới nhưng than ôi, em không có khả năng tìm được cái mới...em nghĩ sau này mình chỉ nên vào forum để xem thôi, không post bài cho nó lành!

[hxthanh]

Trước hết em xin lỗi thầy và mọi người.
Thật ra em không nhớ là những bài này đã được đề cập, là mới nhưng thật ra đã cũ trên forum này rồi.
Ok, từ đây em sẽ hạn chế post bài vì phải tốn thời gian để kiểm tra vấn đề cũ hay mới, mà theo thầy thì phải mới nhưng than ôi, em không có khả năng tìm được cái mới...em nghĩ sau này mình chỉ nên vào forum để xem thôi, không post bài cho nó lành!

Ấy không nên, không nên làm vậy! Mới thì tốt, nhưng cũ cũng hay mà đừng làm vậy em, diễn đàn cần sự sôi động! Thành thật xin lỗi em vì những phát biểu của mình. Việc liên kết giữa các nội dung tương đương thiết nghĩ là việc làm cần thiết, em đừng quá bận tâm. Hãy cứ post bài nhiều hơn nữa nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 23-04-2023 - 19:58

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu cách bỏ 20 viên bi giống nhau vào 4 hộp giống nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi.

$\mathbf{TH1}$ : $x_1=x_2=x_3=x_4$

Số cách nếu không quan tâm đến thứ tự là $N_1=1$

Số cách nếu quan tâm đến thứ tự là $M_1=1$

$\mathbf{TH2}$ : Có đúng $3$ hộp có cùng số bi ($x_m=x_n=x_p=a$, $x_q=b$, $a\neq b$)

Số cách nếu không quan tâm đến thứ tự là $N_2=5$ ($a\in \left \{ 1,2,3,4,6 \right \}$)

Số cách nếu quan tâm đến thứ tự là $M_2=5C_4^1=20$

$\mathbf{TH3}$ : ($x_m=x_n=a$, $x_p=x_q=b$, $a< b$)

Số cách nếu không quan tâm đến thứ tự là $N_3=4$ ($a\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}$)

Số cách nếu quan tâm đến thứ tự là $M_3=4C_4^2=24$

$\mathbf{TH4}$ : ($x_m=x_n=a$, $x_p=b$, $x_q=c$, trong đó $a,b,c$ khác nhau từng đôi một và $b< c$)

+ $a\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}$ : $8-a$ cách ($1\leqslant b\leqslant 9-a$ và $b\neq a$)

+ $a=5$ : $4$ cách ($1\leqslant b\leqslant 4$)

+ $a=6$ : $2$ cách ($5\leqslant c\leqslant 7$ và $c\neq 6$)

+ $a\in \left \{ 7,8 \right \}$ : $9-a$ cách ($1\leqslant b\leqslant 9-a$)

Số cách nếu không quan tâm đến thứ tự là $N_4=\sum_{a=1}^{4}(8-a)+\sum_{a=7}^{8}(9-a)+6=31$

Số cách nếu quan tâm đến thứ tự là $M_4=31P_4^2=372$

$\mathbf{TH5}$ : ($x_1,x_2,x_3,x_4$ khác nhau từng đôi một)

Số cách nếu quan tâm đến thứ tự là $M_5=C_{19}^3-M_1-M_2-M_3-M_4=552$

Số cách nếu không quan tâm đến thứ tự là $N_5=\frac{M_5}{4!}=23$.

Đáp án là $N_1+N_2+N_3+N_4+N_5=64$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-04-2023 - 20:38