Cho tam giác $ABC$ nhọn có 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $FD$ cắt $AC$ tại $N$, $ED$ cắt $AB$ tại $M$. Cho $O$ là tâm đường tròn $(ABC)$. Chứng minh: $OH\perp MN$.
Chứng minh: $OH\perp MN$.
#2
Đã gửi 24-04-2023 - 18:28
$C_{1}$:
Ta có $MA.MB=MD.ME$ nên $M$ thuộc trục đẳng phương $(ABC)$ và $(DEF)$
Tương tự $N$ thuộc trục đẳng phương hai đường tròn này
Từ đó suy ra $MN \perp OO'$($O'$ là tâm $(DEF)$) mà $O,O',H$ thuộc đường thẳng $Euler$ của $\Delta ABC$ nên $OH\perp MN$(đpcm)
$C_{2}$:
Dễ chứng minh $BO\perp DF$, $CO\perp DE$
Ta có $MA\perp CH \Rightarrow MC^{2}-MH^{2}=AC^{2}-AH^{2}$ (1)
$NA\perp BH \Rightarrow NB^{2}-NH^{2}=AB^{2}-AH^{2}$ (2)
$DA\perp BC \Rightarrow DB^{2}-DC^{2}=AB^{2}-AC^{2}$ (3)
$BO\perp DF \Rightarrow BN^{2}-BD^{2}=ON^{2}-OD^{2}$ (4)
$CO\perp DE \Rightarrow CM^{2}-CD^{2}=OM^{2}-OD^{2}$ (5)
Lấy (1)-(2)+(3)+(4)-(5) vế theo vế ta được: $HN^{2}-HM^{2}=ON^{2}-OM^{2}$
$ \Rightarrow OH\perp MN$(đpcm)
- truongphat266 và Leonguyen thích
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh