Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^3 + y^3 + z^3+3 \geq 4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 vulinhne

vulinhne

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết

Đã gửi 26-08-2020 - 15:36

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz =1 .

$x^3 + y^3 + z^3+3 \geq 4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})$



#2 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$

Đã gửi 26-08-2020 - 16:43

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz =1 .

$x^3 + y^3 + z^3+3 \geq 4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})$

$VP=(\sum_{cyc}\frac{x}{y+z})=4xyz(\sum_{cyc}\frac{x}{y+z})\leq_{C-S} \sum_{cyc}xy(x+y)$

$VT=\sum_{cyc}x^3+3=\sum_{cyc}x^3+3xyz$

Từ đó có điều phải chứng minh theo BĐT Schur dạng 1



#3 Do Hong Quan

Do Hong Quan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 26-08-2020 - 19:31

Chỗ cuối dòng 1 là sao ạ

 

$VP=(\sum_{cyc}\frac{x}{y+z})=4xyz(\sum_{cyc}\frac{x}{y+z})\leq_{C-S} \sum_{cyc}xy(x+y)$

$VT=\sum_{cyc}x^3+3=\sum_{cyc}x^3+3xyz$

Từ đó có điều phải chứng minh theo BĐT Schur dạng 1



#4 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$

Đã gửi 26-08-2020 - 19:37

Chỗ cuối dòng 1 là sao ạ

$\sum_{cyc}\frac{4x}{y+z}\leq \sum_{cyc}\frac{x}{y}+\sum_{cyc}\frac{x}{z}=\sum_{cyc}x^2y+\sum_{cyc}x^2z(do:xyz=1)$



#5 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 426 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 29-08-2020 - 09:31

Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh$:$ 

$$\displaystyle x^3 + y^3 + z^3+3xyz \geqslant 4xyz\Big(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\Big)$$

Quy đồng lên ta cần chứng minh$:$ $$\sum {x}^{5} \left( y+z \right) +\sum {x}^{4} \left( {y}^{2}+{z}^{2} \right) -2 \sum {y}^{4}xz-6\,{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2} \geqslant 0$$

Áp dụng BĐT AM-GM$,$ ta có$:$ 

$$2\,{a}^{4}bc\leqslant \frac25\,{a}^{2}{b}^{4}+\frac25{a}^{5}b+{a}^{5}c+\frac15{c}^{ 5}a$$

$$2\,{b}^{4}ac\leqslant \dfrac{1}{4}{a}^{5}b+{b}^{5}c+{\dfrac {11}{20}}\,{b}^{5}a+\dfrac{1}{5} \,{c}^{5}a$$

$$2\,{c}^{4}ab\leqslant \frac14 {a}^{5}b+{\frac {3}{20}}\,{b}^{5}a+\frac35\,{c}^{5}a +{c}^{5}b$$

$$6\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}\leqslant {a}^{2}{c}^{4}+{b}^{4}{c}^{2}+{b}^{2}{c}^ {4}+{a}^{4}{b}^{2}+{a}^{4}{c}^{2}+\frac35{a}^{2}{b}^{4}+\frac{1}{10}{a}^{5}b+\frac{3}{ 10}{b}^{5}a$$

với $a=x,b=y,c=z.$

 

Cộng lại ta thu được đpcm. :)


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh