Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac{a-1}{2a+1}+\frac{b-1}{2b+1}+\frac{c-1}{2c+1}\leq 0$
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac{a-1}{2a+1}+\frac{b-1}{2b+1}+\frac{c-1}{2c+1}\leq 0$
Bắt đầu bởi Matthew James, 27-03-2023 - 17:37
bất đẳng thức
#1
Đã gửi 27-03-2023 - 17:37
Matthew James
-
- Thành viên
-
- 106 Bài viết
Trung sĩ
- thanhng2k7 và ThienDuc1101 thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. 
#2
Đã gửi 27-03-2023 - 21:26
Leonguyen
-
- Thành viên
-
- 162 Bài viết
Trung sĩ
$\sum \frac{a-1}{2a+1}\leq0\Leftrightarrow \sum \frac{a}{2a+1}\leq1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a+1}\geq1$.
Từ giả thiết đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, khi đó
$\sum \frac{1}{2a+1}=\sum \frac{1}{2\frac{x}{y}+1}=\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geq\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1.$
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 27-03-2023 - 21:27
- thanhng2k7 và truongphat266 thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#3
Đã gửi 28-03-2023 - 14:30
Matthew James
-
- Thành viên
-
- 106 Bài viết
Trung sĩ
@Leonguyen Tại sao
$\sum \frac{a}{2a+1}\leq1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a+1}\geq1$ ạ ? 
$\sum \frac{a-1}{2a+1}\leq0\Leftrightarrow \sum \frac{a}{2a+1}\leq1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a+1}\geq1$.
Từ giả thiết đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, khi đó
$\sum \frac{1}{2a+1}=\sum \frac{1}{2\frac{x}{y}+1}=\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geq\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1.$
Vậy ta có đpcm.
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#4
Đã gửi 28-03-2023 - 14:48
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5003 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Bạn nhân 2 sau đó lấy 3 trừ cho hai vế.
- thanhng2k7, Matthew James và Leonguyen thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
