Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $n$ đường thẳng này chia mặt phẳng thành $\frac{n^{2}+n+2}{2}$ miền.

phép quy nạp chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

ĐỀ BÀI:

Cho $n$ đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng và ở vị trí tổng quát ( tức là không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy ).

Chứng minh rằng $n$ đường thẳng này chia mặt phẳng thành $\frac{n^{2}+n+2}{2}$ miền.

 

-------------------------


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Xét $n=1$

Khi đó có 2 miền được chia

Gọi số miền được $k$ đoạn thẳng chia là $S_k$

Xét $S_{k+1}$:

Dễ thấy $S_{k+1}=S_{k}+(k+1)$

$\Rightarrow S_{n}=2+2+3+...+n=\frac{n^2+n+2}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 06-07-2013 - 17:08


#3
Gianghg8910

Gianghg8910

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

CHo mình hỏi tại sao Sk+1=Sk+(k+1) lại suy ra được 

Sk=(k^2+k+2)/2



#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Ten years later....
Nào, mời các bạn tham gia chứng minh càng nhiều cách càng tốt....
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

ĐỀ BÀI:

Cho $n$ đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng và ở vị trí tổng quát ( tức là không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy ).

Chứng minh rằng $n$ đường thẳng này chia mặt phẳng thành $\frac{n^{2}+n+2}{2}$ miền.

 

-------------------------

Với $n=1$, ta có $S_1=2$ (mệnh đề đúng)

Giả sử mệnh đề vẫn đúng khi $n=k\geqslant 1$, tức là với $k$ đường thẳng, ta có $\frac{k^2+k+2}{2}$ miền.

Kẻ thêm đường thẳng thứ k+1 (gọi nó là đường thẳng $d$). Gọi các giao điểm trên $d$ theo thứ tự là $A_1,A_2,...,A_k$

Các giao điểm này chia $d$ thành $k+1$ phần. Mỗi phần đó lại chia một miền có trước đó thành hai miền.

Như vậy, khi có thêm đường thẳng thứ k+1 thì số miền cũng tăng thêm k+1, và bằng

$S_{k+1}=\frac{k^2+k+2}{2}+k+1=\frac{k^2+3k+4}{2}=\frac{(k+1)^2+(k+1)+2}{2}$

Tức là mệnh đề cũng đúng khi $n=k+1$.

Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề đang xét đúng với mọi số nguyên dương $n$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Như vậy anh @chanhquocnghiem đã trình bày cách 1: dùng nguyên lý qui nạp, tiếp theo mình xin trình bày cách 2: lập hệ thức truy hồi.
Cách 2: Dùng hàm sinh tính nghiệm của hệ thức truy hồi :
Gọi số phần mặt phẳng được chia bởi n đường thẳng là $a_n$. Giả sử đã vẽ n-1 đường thẳng, giờ vẽ thêm đường thẳng thứ n thì số phần được thêm bằng số giao điểm được thêm cộng 1; mà số giao điểm được thêm là số giao điểm giữa đường thẳng thứ n và n-1 đường thẳng trước tức là n-1 giao điểm, do đó ta có hệ thức truy hồi :
$\begin {cases}
a_0=1\\
a_n=a_{n-1}+n, \; n\geq 1&& (*)
\end{cases}$
Đặt $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ . Để tính nghiệm tổng quát, ta nhân 2 vế của $(*)$ với $x^n$ rồi cho n chạy từ $1$ đến $\infty $ sau đó cộng vế với vế như sau :
$$\begin {align*}
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=1}^{\infty }a_{n-1}x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }(a_n-a_{n-1})x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^{n+1}&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-x\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
A(x)-a_0-xA(x)&=\frac {x}{(1-x)^2}\\
A(x)(1-x)&=\frac {x}{(1-x)^2}+1\\
A(x)&=\frac {x}{(1-x)^3}+ \frac {1}{1-x} \\
A(x)&=\sum_{n=0}^{\infty }\binom {n+1}{2}x^n+\sum_{n=0}^{\infty }x^n
\end{align*}$$
Suy ra nghiệm tổng quát là :
$$a_n=\frac {n(n+1)}{2}+1=\boldsymbol {\frac {n^2+n+2}{2}}$$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#7
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Mấy cách này thực chất vẫn tương đương nhau
Ví dụ:
Gọi $D_n$ và $X_n$ lần lượt là số miền và số giao điểm khi dựng đường thẳng thứ $n$ trên mặt phẳng (thoả điều kiện)
Giả sử dựng được đường thẳng thứ $n-1$. Dựng đến đường thẳng thứ $n$ thì số giao điểm tăng thêm $n-1$ số miền tăng thêm $n$. Nghĩa là:
$\begin{cases}X_n=X_{n-1}+n-1\\ D_n=D_{n-1}+n\end{cases}$
\begin{align*}\Rightarrow D_n-X_n&=D_{n-1}-X_{n-1}+1\\
\Rightarrow D_{n-1}-X_{n-1}&=D_{n-2}-X_{n-2}+1\\
…&=…\\
\Rightarrow D_1-X_1&=D_0-X_0+1\end{align*}
Cộng vế theo vế, ta được
$D_n-X_n=D_0-X_0+n\Rightarrow D_n=X_n+n+1$
Mặt khác số giao điểm của $n$ đường thẳng (thoả điều kiện) là $\; X_n={n\choose 2}$
Do đó ta có $\quad D_n={n\choose 2}+n+1$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phép quy nạp, chuyên toán

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh