Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyetnguyet829]

Cho $\Delta ABC$ với $H$ là trực tâm. Phân giác ngoài của $\widehat{CHB}$ cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M, N$. Vẽ các đường vuông góc với $AB$ tại $M$, đường vuông góc với $AC$ tại $N$ chúng cắt nhau tại $K$, $BH \cap MK = {{P}}$ và $CH\cap NK = Q$ chứng minh: 

$a) \Delta ANM$ cân 

$b) \Delta HMP$ cân

$c) AK$ là trung trực $MN$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 27-03-2023 - 19:49

[Leonguyen]

a) Kẻ $Ax$ tia phân giác trong $\angle CHB$, từ đây suy ra được $\angle MHB=\angle NHC$ (cùng phụ hai góc bằng nhau).

Mặt khác $\angle MBH=\angle NCH$ (cùng phụ $\angle A$ nên $\angle MHB+\angle MBH=\angle NHC+\angle NCH$ hay $\angle AMN=\angle ANM$, do đó $\bigtriangleup ANM$ cân tại A.

b) $PM\parallel CH$ (cùng vuông góc với $AB$) nên $\angle HMP=\angle NHC$. Mà $\angle MHP=\angle NHC$ nên $\angle HMP=\angle MHP$, suy ra $\bigtriangleup HMP$ cân tại P.

c) $BH\parallel KN$ (cùng vuông góc với $AC$) nên $\angle KNM=\angle PHM$. Mà $\angle KMN=\angle PHM$ (do $\bigtriangleup HMP$ cân tại P) nên $\angle KNM=\angle KMN$, suy ra $\bigtriangleup KMN$ cân tại K, suy ra $KM=KN$.

Lại có $AM=AN$ (do $\bigtriangleup ANM$ cân tại A) nên $AK$ là đường trung trực của $MN$.

Hình gửi kèm

•