Chủ đề này có 1 trả lời

[tthnew]

Chứng minh BĐT bằng phương pháp AM-GM với sự trợ giúp của máy tính.

 

Đây là bài viết ngắn, giới thiệu một chút về PP. AM-GM với sự trợ giúp của máy vi tính, vì vẫn còn thử nghiệm và còn nhiều lỗi nên mình chưa thể công bố chi tiết code. Mình vẫn đang phát triển code để giải được bất đẳng thức với nhiều dấu đẳng thức và bất đẳng thức $3$ biến không thuần nhất. Hiện tại vẫn chưa có ý tưởng nào để viết tiếp

 

$\text{I/ Giới thiệu}$

 

Mình đang thử nghiệm chương trình AM-GM$,$ hoạt động trên Maple. 

 

Hiện tại chương trình chỉ hoạt động với đối BĐT có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$$,$ đôi khi nó cũng hoạt động với $a=b,c=0;..$ và hệ số vẫn còn xấu 

 

Đôi khi kết hợp SOS program và chương trình AM-GM sẽ giúp cho năng lực toàn diện hơn. 

 

Xem ví dụ tại đây$,$ đây và đây nữa.

 

$\text{II/ Ý tưởng thuật toán}$

 

Vì đây là chương trình chưa hoàn thiện và vẫn đang thử nghiệm nên mình chỉ nói sơ qua về ý tưởng.

 

Chương trình hoạt động dựa trên bất đẳng thức AM-GM suy rộng$:$

Với $a_1,a_2,..a_\text{n}$ không âm và $x_1,x_2,...,x_\text{n}$ là các số thực dương có tổng bằng $1$ thì

 

$$x_1 a_1 +x_2 a_2 +\cdots +x_\text{n} a_\text{n} \geqslant a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}}\cdots a_{n}^{x_{\text{n}}} $$

 

Về cơ bản mà nói$,$ chương trình gồm $4$ bước$:$

 

Bước $1.$ Nếu bất đẳng thức đó là $3$ biến thuần nhất thì tiếp tục bước $2.$ Nếu không$,$ trả về tập rỗng.

Bước $2.$ Sinh ra một đa thức tự do bậc deg (deg là bậc của BĐT cần chứng minh) có gắn hệ số.

Bước $3.$ Tiếp theo áp dụng BĐT AM-GM suy rộng cho đa thức trên.

Bước $4.$ Giải hệ và đưa ra kết quả.

 

Bài viết gốc: https://artofproblem...gm_testing_tool

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 30-08-2020 - 06:18

[tthnew]

Ví dụ 1. Cho $a,b \geqslant 0.$ Chứng minh rằng

 

$$a^2 b^2 (a^2 + b^2 - 2) \geqslant (a + b)(ab - 1)$$

 

Theo AM-GM$:$

 

$${a}^{2}b\leqslant \frac25\,{a}^{4}{b}^{2}+\frac25\,a+\frac15\,b,$$

$$a{b}^{2}\leqslant \frac{1}{10}\,{a}^{4}{b}^{2}+\frac{3}{10}\,{a}^{2}{b}^{4}+\frac{3}{5}\,b,$$

$$2\,{a}^{2}{b}^{2}\leqslant \frac12{a}^{4}{b}^{2}+{\dfrac {7}{10}}{a}^{2}{b}^ {4}+\frac35a+\frac15b.$$

 

Cộng lại ta thu được đpcm. 

 

Ví dụ 2. (Trần Quốc Thịnh) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh

 

$$\dfrac{2}{3} \Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\geqslant \sum \dfrac{a+b}{2b+c}$$

 

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có$:$

 

Ví dụ 3. Cho $a,b,c \in \mathbb{R}.$ Chứng minh rằng$:$

 

$$a^{10} +b^{10} +c^{10} -a^8 bc -b^8ca -c^8ab\geqslant 0$$

 

Ta có$:$ $$\frac45{a}^{10}+\frac{1}{10}({b}^{10}+{c}^{10}) \geqslant a^8bc;\cdots $$