Cho $x$ là số thực tuỳ ý. Tìm GTLN của biểu thức: $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$. (Đề thi HSG Huế 2021-2022)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 31-03-2023 - 06:40
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$
Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 - 15:23
bđt cực trị bất đẳng thức
Lời giải Ngoc Hung, 31-03-2023 - 06:51
Ta có $Q=\left ( x+1 \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+1}} \right )$
$=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{1+3x^{2}} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}\leq \frac{\left ( x+1 \right )\left ( 2\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+1} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}$
Xét $x+1<0\Rightarrow Q<0$. Xét $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$
Khi đó $\frac{\left ( x+1 \right ).\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{3x^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}\leq \left ( x^{2}+3 \right )\left ( 3x^{2}+1 \right )\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{4}\geq 0$
Do đó $Q\leq 2\leftrightarrow x=1$
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 30-03-2023 - 15:23
Leonguyen
-
- Thành viên
-
- 160 Bài viết
Trung sĩ
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#2
Đã gửi 31-03-2023 - 06:51
Ngoc Hung
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1547 Bài viết
Đại úy
✓ Lời giải
Ta có $Q=\left ( x+1 \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+1}} \right )$
$=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{1+3x^{2}} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}\leq \frac{\left ( x+1 \right )\left ( 2\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+1} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}$
Xét $x+1<0\Rightarrow Q<0$. Xét $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$
Khi đó $\frac{\left ( x+1 \right ).\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{3x^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}\leq \left ( x^{2}+3 \right )\left ( 3x^{2}+1 \right )\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{4}\geq 0$
Do đó $Q\leq 2\leftrightarrow x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 31-03-2023 - 12:58
- perfectstrong, ThienDuc1101 và Leonguyen thích
#3
Đã gửi 31-03-2023 - 12:27
Leonguyen
-
- Thành viên
-
- 160 Bài viết
Trung sĩ
Do đó $Q\geqslant 2\leftrightarrow x=1$
Thầy ơi $Q\leq 2$ chứ ạ 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 31-03-2023 - 12:59
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, cực trị, bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024  cực trị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
