Cho $x$ là số thực tuỳ ý. Tìm GTLN của biểu thức: $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$. (Đề thi HSG Huế 2021-2022)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 31-03-2023 - 06:40
Lời giải Ngoc Hung, 31-03-2023 - 06:51
Ta có $Q=\left ( x+1 \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+1}} \right )$
$=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{1+3x^{2}} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}\leq \frac{\left ( x+1 \right )\left ( 2\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+1} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}$
Xét $x+1<0\Rightarrow Q<0$. Xét $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$
Khi đó $\frac{\left ( x+1 \right ).\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{3x^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}\leq \left ( x^{2}+3 \right )\left ( 3x^{2}+1 \right )\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{4}\geq 0$
Do đó $Q\leq 2\leftrightarrow x=1$
Đi đến bài viết »Cho $x$ là số thực tuỳ ý. Tìm GTLN của biểu thức: $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$. (Đề thi HSG Huế 2021-2022)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 31-03-2023 - 06:40
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
Ta có $Q=\left ( x+1 \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x^{2}+1}} \right )$
$=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{1+3x^{2}} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}\leq \frac{\left ( x+1 \right )\left ( 2\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+1} \right )}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{1+3x^{2}}}$
Xét $x+1<0\Rightarrow Q<0$. Xét $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$
Khi đó $\frac{\left ( x+1 \right ).\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+3}.\sqrt{3x^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}\leq \left ( x^{2}+3 \right )\left ( 3x^{2}+1 \right )\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{4}\geq 0$
Do đó $Q\leq 2\leftrightarrow x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 31-03-2023 - 12:58
Do đó $Q\geqslant 2\leftrightarrow x=1$
Thầy ơi $Q\leq 2$ chứ ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 31-03-2023 - 12:59
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ biết $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$Bắt đầu bởi kakachjmz, 20-04-2024 hsg, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh