Chủ đề này có 1 trả lời

[Nobodyv3]

Tính tổng :
$$A=C_{2013}^{1}+C_{2013}^{5}+C_{2013}^{9}+...+C_{2013}^{2005}+C_{2013}^{2009}+C_{2013}^{2013}$$
Bài OP tại https://diendantoanh...ị-thức-niu-tơn/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-03-2023 - 16:13

[Nobodyv3]

Lời giải

Bài giải của em:
Xét tổng :
$\begin {align*}
B&=C_{2013}^{0}+C_{2013}^{4}+C_{2013}^{8}+...+C_{2013}^{2004}+C_{2013}^{2008}+C_{2013}^{2012}\\
&=C_{2013}^{2013}  +C_{2013}^{2009} +C_{2013}^{2005}+... +C_{2013}^{9}+C_{2013}^{5}+C_{2013}^{1}  \\
\Rightarrow B&=A
\end{align*}$
Ta đi tính B. Đặt $f(x)=(1+x)^{2013}.$ và ta cũng biết phương trình $x^4-1=0$ có 4 nghiệm là $1,\, -1,\, i, \,-i.$ Thế vào :
$\begin {align*}
f(1)&=2^{2023}, \\
f(-1)&=0,\\
f(i)&=(1+i)^{2012}(1+i)=(2i)^{1006}(1+i)\\
&=-2^{1006}(1+i),\\
f(-i)&=-2^{1006}(1-i).
\end{align*}$
Vậy theo định lý RUF, ta có tổng B (cũng là tổng A cần tính) là :
$$A=B=\frac {f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4}=\frac {2^{2013}-2\cdot 2^{1006}}{4}=\boldsymbol {2^{2011}-2^{1005}}$$