Chủ đề này có 1 trả lời

[Xman dan ong dich thuc]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại E. Chứng minh rằng ${{S}_{ABC}}^{}=BE.EC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Xman dan ong dich thuc: 30-08-2020 - 17:22

[ThIsMe]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại E. Chứng minh rằng ${{S}_{ABC}}^{}=BE.EC$

Gọi giao điểm của đường tròn nội tiếp $\bigtriangleup ABC$ với $AB;AC$ lần lượt là $G;F$.

Khi đó, dễ nhận thấy rằng $CE=CF$; $BE=BG$ và $AF=AG$.

Đặt $AF=AG=x$

Ta có: $AB.AC=(AF+CF)(AG+BG)=(x+CF)(x+BG)=x^2+(BG+CF)x+CF.BG(1)$.

Do $\bigtriangleup ABC$ vuông tại A nên theo định lý $\text{Pythagoras}$ ta được:

$$AB^2+AC^2=BC^2$$

$$\Leftrightarrow (x+BG)^2+(x+CF)^2=(BE+CE)^2$$

$$\Leftrightarrow 2x^2+2(BG+CF)x+BG^2+CF^2=BE^2+CE^2+2.BE.CF$$

$$\Leftrightarrow x^2+(BG+CF)x=BG.CG(2)$$

(do $CE=CF$; $BE=BG$).

Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được:

$$AB.AC=2.CF.BG=2.BE.CE$$

hay

$$\frac{AB.AC}{2}=BE.CE$$

Tức là:

$$S_{ABC}=BE.CE$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.$\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThIsMe: 30-08-2020 - 22:57