Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại E. Chứng minh rằng ${{S}_{ABC}}^{}=BE.EC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Xman dan ong dich thuc: 30-08-2020 - 17:22
Đã gửi 30-08-2020 - 17:16
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại E. Chứng minh rằng ${{S}_{ABC}}^{}=BE.EC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Xman dan ong dich thuc: 30-08-2020 - 17:22
Đã gửi 30-08-2020 - 22:56
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại E. Chứng minh rằng ${{S}_{ABC}}^{}=BE.EC$
Gọi giao điểm của đường tròn nội tiếp $\bigtriangleup ABC$ với $AB;AC$ lần lượt là $G;F$.
Khi đó, dễ nhận thấy rằng $CE=CF$; $BE=BG$ và $AF=AG$.
Đặt $AF=AG=x$
Ta có: $AB.AC=(AF+CF)(AG+BG)=(x+CF)(x+BG)=x^2+(BG+CF)x+CF.BG(1)$.
Do $\bigtriangleup ABC$ vuông tại A nên theo định lý $\text{Pythagoras}$ ta được:
$$AB^2+AC^2=BC^2$$
$$\Leftrightarrow (x+BG)^2+(x+CF)^2=(BE+CE)^2$$
$$\Leftrightarrow 2x^2+2(BG+CF)x+BG^2+CF^2=BE^2+CE^2+2.BE.CF$$
$$\Leftrightarrow x^2+(BG+CF)x=BG.CG(2)$$
(do $CE=CF$; $BE=BG$).
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được:
$$AB.AC=2.CF.BG=2.BE.CE$$
hay
$$\frac{AB.AC}{2}=BE.CE$$
Tức là:
$$S_{ABC}=BE.CE$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.$\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThIsMe: 30-08-2020 - 22:57
#Mathematics
#Inequality
#Geometry
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
điểm cố địnhBắt đầu bởi lan753951, 01-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh đường vuông góc nâng cao 7Bắt đầu bởi Korosensei, 28-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh 5 điểm đồng viênBắt đầu bởi Peteroldar, 26-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
ĐỀ THI HSG THUỶ NGUYÊN HẢI PHÒNG 2019-2020Bắt đầu bởi Nguyen Tran Vy An, 16-12-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Bất đẳng thức trong hình họcBắt đầu bởi maihuyen2006, 29-11-2020 ![]() |
|
![]() |
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh