Chủ đề này có 1 trả lời

[abcd2023]

Định lí 1: Nếu hàm $f$ và $g$ đều khả vi thì 

$\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]= \frac{d}{dx}f(x)+ \frac{d}{dx}g(x)$

Định lí 2: Nếu hàm $f$ và $g$ có đạo hàm trên $J$ thì hàm $f+g$ cũng có đạo hàm trên $J$ và 

$\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$

Cho em hỏi 2 câu về:

i)2 định lí này giống hay khác nhau nhỉ ? Tại sao ạ ?

ii) Ở định lí 1 nói là khả vi tại $x$ đúng không ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abcd2023: 01-04-2023 - 14:00

[Nesbit]

Bạn có thể hiểu $\frac{d}{dx}$ là phép lấy đạo hàm, nghĩa là $\frac{d}{dx}f$ và $f'$ là như nhau. Về cơ bản thì cả hai định lý trên đều mang cùng ý nghĩa, tuy nhiên như phát biểu ở trên thì không được chặt chẽ cho lắm. Ở định lý 2 thì cần thêm "với mọi $x$ thuộc $J$", còn định lý 1 thì nên thêm câu "thì $f+g$ cũng khả vi", đồng thời có lẽ là nên viết

$$\frac{d}{dx}(f+g) = \frac{d}{dx}f + \frac{d}{dx}g.$$

 

Tốt nhất là nên phát biểu định lý tại một điểm nào đó bởi vì khả vi vốn dĩ là tính chất địa phương:

 

Định lý

Nếu $f$ và $g$ khả vi tại $x_0$ thì $f+g$ cũng khả vi tại $x_0$ và 

\begin{equation}\frac{d}{dx}(f+g)(x_0) = \frac{d}{dx}f(x_0) + \frac{d}{dx}g(x_0).\end{equation}

Hay viết theo cách khác:

\begin{equation}(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).\end{equation}

Lưu ý ở phương trình thứ nhất, ta lấy giá trị của đạo hàm tại $x_0$ chứ không phải của hàm, để rõ hơn thì có thể viết:

$$\left(\frac{d}{dx}(f+g)\right)(x_0) = \left(\frac{d}{dx}f\right)(x_0) + \left(\frac{d}{dx}g\right)(x_0).$$

Bạn tham khảo thêm chủ đề này: Định nghĩa hàm khả vi